Номер 1330, страница 409 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Алимов, Колягин

Упражнения для итогового повторения курса алгебры и начал математического анализа. 2. Уравнения - номер 1330, страница 409.

Условие.

1330 1) $\frac{3x-1}{x+2} - \frac{7}{2+x} = \frac{7x^2-28}{x^2-4} + \frac{18}{2-x};$

2) $\frac{x+1}{x+3} - \frac{12}{x^2-9} = \frac{2x-1}{3-x}.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 5.

Решение 7.

Решение 8.

1) $\frac{3x-1}{x+2} - \frac{7}{2+x} = \frac{7x^2-28}{x^2-4} + \frac{18}{2-x}$

Сначала найдем область допустимых значений (ОДЗ). Знаменатели дробей не могут быть равны нулю:

$x+2 \neq 0 \Rightarrow x \neq -2$

$x^2-4 \neq 0 \Rightarrow (x-2)(x+2) \neq 0 \Rightarrow x \neq 2$ и $x \neq -2$

$2-x \neq 0 \Rightarrow x \neq 2$

Таким образом, ОДЗ: $x \neq \pm 2$.

Приведем все дроби к общему знаменателю. Заметим, что $2+x = x+2$, $x^2-4 = (x-2)(x+2)$ и $2-x = -(x-2)$.

Общий знаменатель: $(x-2)(x+2)$.

Преобразуем уравнение:

$\frac{3x-1}{x+2} - \frac{7}{x+2} = \frac{7x^2-28}{(x-2)(x+2)} - \frac{18}{x-2}$

Объединим дроби в левой части:

$\frac{3x-1-7}{x+2} = \frac{3x-8}{x+2}$

Теперь уравнение выглядит так:

$\frac{3x-8}{x+2} = \frac{7x^2-28}{(x-2)(x+2)} - \frac{18}{x-2}$

Перенесем все члены в левую часть и приведем к общему знаменателю:

$\frac{(3x-8)(x-2)}{(x+2)(x-2)} - \frac{7x^2-28}{(x-2)(x+2)} + \frac{18(x+2)}{(x-2)(x+2)} = 0$

Так как знаменатель не равен нулю (согласно ОДЗ), мы можем приравнять числитель к нулю:

$(3x-8)(x-2) - (7x^2-28) + 18(x+2) = 0$

Раскроем скобки:

$(3x^2 - 6x - 8x + 16) - 7x^2 + 28 + 18x + 36 = 0$

$3x^2 - 14x + 16 - 7x^2 + 28 + 18x + 36 = 0$

Приведем подобные слагаемые:

$(3x^2 - 7x^2) + (-14x + 18x) + (16 + 28 + 36) = 0$

$-4x^2 + 4x + 80 = 0$

Разделим все уравнение на -4 для упрощения:

$x^2 - x - 20 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение с помощью дискриминанта или по теореме Виета. По теореме Виета:

$x_1 + x_2 = -(-1) = 1$

$x_1 \cdot x_2 = -20$

Подбором находим корни: $x_1 = 5$ и $x_2 = -4$.

Проверим, удовлетворяют ли найденные корни ОДЗ ($x \neq \pm 2$).

$x_1 = 5$ - удовлетворяет ОДЗ.

$x_2 = -4$ - удовлетворяет ОДЗ.

Оба корня являются решениями уравнения.

Ответ: -4; 5.

2) $\frac{x+1}{x+3} - \frac{12}{x^2-9} = \frac{2x-1}{3-x}$

Найдем область допустимых значений (ОДЗ):

$x+3 \neq 0 \Rightarrow x \neq -3$

$x^2-9 \neq 0 \Rightarrow (x-3)(x+3) \neq 0 \Rightarrow x \neq 3$ и $x \neq -3$

$3-x \neq 0 \Rightarrow x \neq 3$

Таким образом, ОДЗ: $x \neq \pm 3$.

Приведем все дроби к общему знаменателю. Заметим, что $x^2-9 = (x-3)(x+3)$ и $3-x = -(x-3)$.

Общий знаменатель: $(x-3)(x+3)$.

Преобразуем уравнение:

$\frac{x+1}{x+3} - \frac{12}{(x-3)(x+3)} = -\frac{2x-1}{x-3}$

Перенесем все члены в левую часть и приведем к общему знаменателю:

$\frac{(x+1)(x-3)}{(x+3)(x-3)} - \frac{12}{(x-3)(x+3)} + \frac{(2x-1)(x+3)}{(x-3)(x+3)} = 0$

Приравняем числитель к нулю, так как знаменатель отличен от нуля в ОДЗ:

$(x+1)(x-3) - 12 + (2x-1)(x+3) = 0$

Раскроем скобки:

$(x^2 - 3x + x - 3) - 12 + (2x^2 + 6x - x - 3) = 0$

$x^2 - 2x - 3 - 12 + 2x^2 + 5x - 3 = 0$

Приведем подобные слагаемые:

$(x^2 + 2x^2) + (-2x + 5x) + (-3 - 12 - 3) = 0$

$3x^2 + 3x - 18 = 0$

Разделим все уравнение на 3:

$x^2 + x - 6 = 0$

Решим квадратное уравнение. По теореме Виета:

$x_1 + x_2 = -1$

$x_1 \cdot x_2 = -6$

Подбором находим корни: $x_1 = 2$ и $x_2 = -3$.

Проверим, удовлетворяют ли найденные корни ОДЗ ($x \neq \pm 3$).

$x_1 = 2$ - удовлетворяет ОДЗ.

$x_2 = -3$ - не удовлетворяет ОДЗ, так как при $x=-3$ знаменатель обращается в ноль. Это посторонний корень.

Следовательно, уравнение имеет только один корень.

Ответ: 2.