Номер 1325, страница 408 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Алимов, Колягин

Упражнения для итогового повторения курса алгебры и начал математического анализа. 2. Уравнения - номер 1325, страница 408.

Условие.

1325 1) $\frac{3}{x+3} - \frac{2}{x-3} = \frac{4}{x^2-9}$

2) $\frac{5}{x-2} + \frac{2}{x-4} = \frac{11}{x^2-6x+8}$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 5.

Решение 7.

Решение 8.

1) Исходное уравнение: $ \frac{3}{x+3} - \frac{2}{x-3} = \frac{4}{x^2-9} $.
Сначала определим область допустимых значений (ОДЗ), исключив значения $x$, при которых знаменатели обращаются в ноль.
$x+3 \neq 0 \Rightarrow x \neq -3$
$x-3 \neq 0 \Rightarrow x \neq 3$
$x^2-9 = (x-3)(x+3) \neq 0 \Rightarrow x \neq 3 \text{ и } x \neq -3$.
ОДЗ: $x$ – любое число, кроме 3 и -3.
Заметим, что знаменатель в правой части является произведением знаменателей в левой части: $x^2-9 = (x-3)(x+3)$. Это общий знаменатель для всех дробей в уравнении.
Приведем все дроби к общему знаменателю $(x-3)(x+3)$:
$ \frac{3(x-3)}{(x+3)(x-3)} - \frac{2(x+3)}{(x-3)(x+3)} = \frac{4}{(x-3)(x+3)} $
Так как знаменатели равны и не равны нулю (согласно ОДЗ), мы можем приравнять числители:
$ 3(x-3) - 2(x+3) = 4 $
Раскроем скобки и решим полученное линейное уравнение:
$ 3x - 9 - 2x - 6 = 4 $
Приведем подобные слагаемые:
$ (3x - 2x) + (-9 - 6) = 4 $
$ x - 15 = 4 $
$ x = 4 + 15 $
$ x = 19 $
Найденный корень $x=19$ входит в область допустимых значений, так как $19 \neq 3$ и $19 \neq -3$.
Ответ: 19

2) Исходное уравнение: $ \frac{5}{x-2} + \frac{2}{x-4} = \frac{11}{x^2-6x+8} $.
Определим область допустимых значений (ОДЗ).
$x-2 \neq 0 \Rightarrow x \neq 2$
$x-4 \neq 0 \Rightarrow x \neq 4$
Разложим знаменатель в правой части на множители. Для этого найдем корни квадратного трехчлена $x^2-6x+8$. По теореме Виета, сумма корней равна 6, а произведение равно 8. Корни: $x_1=2, x_2=4$.
Следовательно, $x^2-6x+8 = (x-2)(x-4)$.
Значит, ОДЗ: $x$ – любое число, кроме 2 и 4.
Перепишем уравнение, используя разложенный на множители знаменатель:
$ \frac{5}{x-2} + \frac{2}{x-4} = \frac{11}{(x-2)(x-4)} $
Общий знаменатель для всех дробей — это $(x-2)(x-4)$. Умножим обе части уравнения на этот общий знаменатель, чтобы избавиться от дробей:
$ 5(x-4) + 2(x-2) = 11 $
Раскроем скобки:
$ 5x - 20 + 2x - 4 = 11 $
Приведем подобные слагаемые:
$ 7x - 24 = 11 $
Перенесем -24 в правую часть уравнения, изменив знак:
$ 7x = 11 + 24 $
$ 7x = 35 $
Найдем $x$:
$ x = \frac{35}{7} $
$ x = 5 $
Проверим, входит ли корень $x=5$ в ОДЗ. Так как $5 \neq 2$ и $5 \neq 4$, корень является решением уравнения.
Ответ: 5