Номер 1320, страница 408 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Алимов, Колягин

Упражнения для итогового повторения курса алгебры и начал математического анализа. 1. Числа и алгебраические преобразования - номер 1320, страница 408.

Условие.

1320 1) $4 \sin x \sin \left(\frac{\pi}{3} - x\right) \sin \left(\frac{\pi}{3} + x\right) = \sin 3x;$

2) $\cos 3x \cos 6x \cos 12x = \frac{\sin 24x}{8 \sin 3x}.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 5.

Решение 7.

Решение 8.

1) $4 \sin x \sin(\frac{\pi}{3} - x) \sin(\frac{\pi}{3} + x) = \sin 3x$

Для решения данного уравнения преобразуем его левую часть. Сначала воспользуемся формулой произведения синусов для двух последних сомножителей. Формула имеет вид: $\sin(\alpha - \beta)\sin(\alpha + \beta) = \sin^2\alpha - \sin^2\beta$.

В нашем случае $\alpha = \frac{\pi}{3}$ и $\beta = x$. Применим формулу:

$\sin(\frac{\pi}{3} - x) \sin(\frac{\pi}{3} + x) = \sin^2\frac{\pi}{3} - \sin^2 x$

Мы знаем, что значение $\sin\frac{\pi}{3} = \frac{\sqrt{3}}{2}$, следовательно, $\sin^2\frac{\pi}{3} = (\frac{\sqrt{3}}{2})^2 = \frac{3}{4}$.

Подставим это значение в наше выражение:

$\sin(\frac{\pi}{3} - x) \sin(\frac{\pi}{3} + x) = \frac{3}{4} - \sin^2 x$

Теперь подставим полученный результат в левую часть исходного уравнения:

$4 \sin x \left(\frac{3}{4} - \sin^2 x\right) = 4 \sin x \cdot \frac{3}{4} - 4 \sin x \cdot \sin^2 x = 3 \sin x - 4 \sin^3 x$

Полученное выражение $3 \sin x - 4 \sin^3 x$ является формулой синуса тройного угла: $\sin 3x = 3 \sin x - 4 \sin^3 x$.

Таким образом, мы доказали, что левая часть уравнения тождественно равна $\sin 3x$. Уравнение принимает вид:

$\sin 3x = \sin 3x$

Это равенство является тождеством, так как оно верно при любых действительных значениях переменной $x$.

Ответ: $x \in \mathbb{R}$ (любое действительное число).

2) $\cos 3x \cos 6x \cos 12x = \frac{\sin 24x}{8 \sin 3x}$

Прежде всего, найдем область допустимых значений (ОДЗ) для этого уравнения. Правая часть содержит знаменатель, который не должен равняться нулю:

$8 \sin 3x \neq 0$

$\sin 3x \neq 0$

Это условие выполняется, если $3x \neq \pi k$, где $k$ — любое целое число ($k \in \mathbb{Z}$).

Следовательно, ОДЗ: $x \neq \frac{\pi k}{3}$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Теперь преобразуем левую часть уравнения, чтобы доказать тождество для всех $x$ из ОДЗ. Для этого будем последовательно применять формулу синуса двойного угла: $\sin 2\alpha = 2 \sin \alpha \cos \alpha$.

Домножим левую часть уравнения на $1 = \frac{2 \sin 3x}{2 \sin 3x}$ (это допустимо, так как в ОДЗ $\sin 3x \neq 0$):

$\cos 3x \cos 6x \cos 12x = \frac{(2 \sin 3x \cos 3x) \cos 6x \cos 12x}{2 \sin 3x}$

В числителе $2 \sin 3x \cos 3x = \sin(2 \cdot 3x) = \sin 6x$. Подставляем:

$\frac{\sin 6x \cos 6x \cos 12x}{2 \sin 3x}$

Повторим операцию, домножив числитель и знаменатель на 2:

$\frac{2 \sin 6x \cos 6x \cos 12x}{2 \cdot 2 \sin 3x} = \frac{\sin(2 \cdot 6x) \cos 12x}{4 \sin 3x} = \frac{\sin 12x \cos 12x}{4 \sin 3x}$

Применим этот прием в последний раз:

$\frac{2 \sin 12x \cos 12x}{2 \cdot 4 \sin 3x} = \frac{\sin(2 \cdot 12x)}{8 \sin 3x} = \frac{\sin 24x}{8 \sin 3x}$

Мы показали, что левая часть уравнения тождественно равна правой части для всех $x$ из области допустимых значений.

Следовательно, решением уравнения являются все значения $x$, удовлетворяющие ОДЗ.

Ответ: $x \neq \frac{\pi k}{3}$, где $k \in \mathbb{Z}$.