Номер 1317, страница 408 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Алимов, Колягин

Упражнения для итогового повторения курса алгебры и начал математического анализа. 1. Числа и алгебраические преобразования - номер 1317, страница 408.

Условие.

1317 1) $1 - \operatorname{tg}^2 \alpha = \frac{\cos 2\alpha}{\cos^2 \alpha};$

2) $1 - \operatorname{ctg}^2 \alpha = \frac{-\cos 2\alpha}{\sin^2 \alpha}.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 5.

Решение 7.

Решение 8.

1) Докажем тождество $1 - \text{tg}^2 \alpha = \frac{\cos 2\alpha}{\cos^2 \alpha}$.

Для доказательства преобразуем левую часть выражения. Воспользуемся определением тангенса $\text{tg} \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha}$.

$1 - \text{tg}^2 \alpha = 1 - \left(\frac{\sin \alpha}{\cos \alpha}\right)^2 = 1 - \frac{\sin^2 \alpha}{\cos^2 \alpha}$.

Приведем выражение к общему знаменателю $\cos^2 \alpha$:

$1 - \frac{\sin^2 \alpha}{\cos^2 \alpha} = \frac{\cos^2 \alpha - \sin^2 \alpha}{\cos^2 \alpha}$.

Числитель полученной дроби представляет собой одну из формул косинуса двойного угла: $\cos 2\alpha = \cos^2 \alpha - \sin^2 \alpha$.

Заменив числитель, получаем:

$\frac{\cos^2 \alpha - \sin^2 \alpha}{\cos^2 \alpha} = \frac{\cos 2\alpha}{\cos^2 \alpha}$.

Мы преобразовали левую часть к правой, следовательно, тождество верно.

Ответ: Тождество доказано.

2) Докажем тождество $1 - \text{ctg}^2 \alpha = \frac{-\cos 2\alpha}{\sin^2 \alpha}$.

Для доказательства преобразуем левую часть выражения. Воспользуемся определением котангенса $\text{ctg} \alpha = \frac{\cos \alpha}{\sin \alpha}$.

$1 - \text{ctg}^2 \alpha = 1 - \left(\frac{\cos \alpha}{\sin \alpha}\right)^2 = 1 - \frac{\cos^2 \alpha}{\sin^2 \alpha}$.

Приведем выражение к общему знаменателю $\sin^2 \alpha$:

$1 - \frac{\cos^2 \alpha}{\sin^2 \alpha} = \frac{\sin^2 \alpha - \cos^2 \alpha}{\sin^2 \alpha}$.

Преобразуем числитель, вынеся знак минус за скобки: $\sin^2 \alpha - \cos^2 \alpha = -(\cos^2 \alpha - \sin^2 \alpha)$.

Выражение в скобках, $\cos^2 \alpha - \sin^2 \alpha$, является формулой косинуса двойного угла $\cos 2\alpha$. Значит, числитель равен $-\cos 2\alpha$.

Подставим полученное выражение для числителя в дробь:

$\frac{\sin^2 \alpha - \cos^2 \alpha}{\sin^2 \alpha} = \frac{-\cos 2\alpha}{\sin^2 \alpha}$.

Мы преобразовали левую часть к правой, следовательно, тождество верно.

Ответ: Тождество доказано.