Номер 1318, страница 408 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Алимов, Колягин

Упражнения для итогового повторения курса алгебры и начал математического анализа. 1. Числа и алгебраические преобразования - номер 1318, страница 408.

Условие.

1318 $1 + \cos \alpha + \cos 2\alpha = 4 \cos \alpha \cos \left(\frac{\pi}{6} + \frac{\alpha}{2}\right) \cos \left(\frac{\pi}{6} - \frac{\alpha}{2}\right).$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 5.

Решение 7.

Решение 8.

Для доказательства данного тождества преобразуем его левую и правую части и покажем, что они равны одному и тому же выражению.

1. Преобразование левой части (ЛЧ).

Исходное выражение для левой части: $1 + \cos \alpha + \cos 2\alpha$.

Воспользуемся формулой косинуса двойного угла: $\cos 2\alpha = 2\cos^2 \alpha - 1$.

Подставим эту формулу в выражение для левой части:

$1 + \cos \alpha + (2\cos^2 \alpha - 1) = \cos \alpha + 2\cos^2 \alpha$.

Таким образом, ЛЧ = $\cos \alpha (1 + 2\cos \alpha)$.

2. Преобразование правой части (ПЧ).

Исходное выражение для правой части: $4 \cos \alpha \cos\left(\frac{\pi}{6} + \frac{\alpha}{2}\right) \cos\left(\frac{\pi}{6} - \frac{\alpha}{2}\right)$.

Сначала преобразуем произведение $\cos\left(\frac{\pi}{6} + \frac{\alpha}{2}\right) \cos\left(\frac{\pi}{6} - \frac{\alpha}{2}\right)$ с помощью формулы преобразования произведения косинусов в сумму: $\cos x \cos y = \frac{1}{2}(\cos(x+y) + \cos(x-y))$.

В нашем случае $x = \frac{\pi}{6} + \frac{\alpha}{2}$ и $y = \frac{\pi}{6} - \frac{\alpha}{2}$.

Найдём сумму и разность аргументов:

$x+y = \left(\frac{\pi}{6} + \frac{\alpha}{2}\right) + \left(\frac{\pi}{6} - \frac{\alpha}{2}\right) = \frac{2\pi}{6} = \frac{\pi}{3}$.

$x-y = \left(\frac{\pi}{6} + \frac{\alpha}{2}\right) - \left(\frac{\pi}{6} - \frac{\alpha}{2}\right) = \frac{2\alpha}{2} = \alpha$.

Подставим найденные значения в формулу:

$\cos\left(\frac{\pi}{6} + \frac{\alpha}{2}\right) \cos\left(\frac{\pi}{6} - \frac{\alpha}{2}\right) = \frac{1}{2}\left(\cos\frac{\pi}{3} + \cos\alpha\right)$.

Так как $\cos\frac{\pi}{3} = \frac{1}{2}$, получаем:

$\frac{1}{2}\left(\frac{1}{2} + \cos\alpha\right)$.

Теперь подставим это выражение обратно в правую часть исходного тождества:

$4 \cos \alpha \cdot \frac{1}{2}\left(\frac{1}{2} + \cos\alpha\right) = 2 \cos \alpha \left(\frac{1}{2} + \cos\alpha\right) = \cos \alpha + 2\cos^2 \alpha$.

Таким образом, ПЧ = $\cos \alpha (1 + 2\cos \alpha)$.

3. Заключение.

Мы получили, что левая и правая части тождества равны одному и тому же выражению:

ЛЧ = $\cos \alpha + 2\cos^2 \alpha$

ПЧ = $\cos \alpha + 2\cos^2 \alpha$

Следовательно, ЛЧ = ПЧ, и тождество доказано.

Ответ: Тождество $1 + \cos \alpha + \cos 2\alpha = 4 \cos \alpha \cos\left(\frac{\pi}{6} + \frac{\alpha}{2}\right) \cos\left(\frac{\pi}{6} - \frac{\alpha}{2}\right)$ доказано.