Номер 1316, страница 408 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Алимов, Колягин

Упражнения для итогового повторения курса алгебры и начал математического анализа. 1. Числа и алгебраические преобразования - номер 1316, страница 408.

Условие.

1316 $(1 + \cos \alpha) \operatorname{tg} \frac{\alpha}{2} = \sin \alpha.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 5.

Решение 7.

Решение 8.

1316

Чтобы доказать данное тригонометрическое тождество, мы преобразуем левую часть выражения $(1 + \cos \alpha) \operatorname{tg} \frac{\alpha}{2}$ и покажем, что она равна правой части, то есть $\sin \alpha$.

Для преобразования нам понадобятся следующие тригонометрические формулы:

1. Формула косинуса двойного угла: $\cos(2x) = 2\cos^2 x - 1$. Если подставить $x = \frac{\alpha}{2}$, то получим $\cos \alpha = 2\cos^2 \frac{\alpha}{2} - 1$. Из этой формулы можно выразить $1 + \cos \alpha$:
$1 + \cos \alpha = 2\cos^2 \frac{\alpha}{2}$

2. Определение тангенса половинного угла:
$\operatorname{tg} \frac{\alpha}{2} = \frac{\sin \frac{\alpha}{2}}{\cos \frac{\alpha}{2}}$

3. Формула синуса двойного угла: $\sin(2x) = 2\sin x \cos x$. Если подставить $x = \frac{\alpha}{2}$, то получим:
$\sin \alpha = 2\sin \frac{\alpha}{2} \cos \frac{\alpha}{2}$

Теперь выполним преобразование левой части тождества, подставив в нее формулы 1 и 2.

$(1 + \cos \alpha) \operatorname{tg} \frac{\alpha}{2} = \left(2\cos^2 \frac{\alpha}{2}\right) \cdot \left(\frac{\sin \frac{\alpha}{2}}{\cos \frac{\alpha}{2}}\right)$

Сократим общий множитель $\cos \frac{\alpha}{2}$ в числителе и знаменателе. Это действие корректно, так как область определения тангенса $\operatorname{tg} \frac{\alpha}{2}$ исключает значения, при которых $\cos \frac{\alpha}{2} = 0$.

$2\cos \frac{\alpha}{2} \cdot \sin \frac{\alpha}{2}$

Полученное выражение в точности соответствует формуле синуса двойного угла (формула 3) для угла $\alpha$.

$2\sin \frac{\alpha}{2} \cos \frac{\alpha}{2} = \sin\left(2 \cdot \frac{\alpha}{2}\right) = \sin \alpha$

Таким образом, мы показали, что левая часть тождества равна правой:

$\sin \alpha = \sin \alpha$

Что и требовалось доказать.

Ответ: тождество доказано.