Номер 1309, страница 407 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Алимов, Колягин

1. Числа и алгебраические преобразования. Упражнения для итогового повторения курса алгебры и начал математического анализа - номер 1309, страница 407.

1309 1) $\frac{\sqrt{2 - \cos x - \sin x}}{\sin x - \cos x};$

2) $\frac{1 + \cos x + \sin x + \operatorname{tg} x}{\sin x + \cos x}.$

1)

Упростим выражение $\frac{\sqrt{2} - \cos x - \sin x}{\sin x - \cos x}$.

Для начала преобразуем выражения $\sin x + \cos x$ и $\sin x - \cos x$, используя метод вспомогательного угла. Мы знаем, что $a \sin x + b \cos x = R \sin(x+\alpha)$, где $R = \sqrt{a^2+b^2}$.

Для $\cos x + \sin x$: $a=1, b=1$, $R = \sqrt{1^2+1^2}=\sqrt{2}$. Вынесем $\sqrt{2}$ за скобки:

$\cos x + \sin x = \sqrt{2}(\frac{1}{\sqrt{2}}\cos x + \frac{1}{\sqrt{2}}\sin x) = \sqrt{2}(\sin(\frac{\pi}{4})\cos x + \cos(\frac{\pi}{4})\sin x) = \sqrt{2}\sin(x+\frac{\pi}{4})$.

Также можно представить это в виде косинуса:

$\cos x + \sin x = \sqrt{2}(\frac{1}{\sqrt{2}}\cos x + \frac{1}{\sqrt{2}}\sin x) = \sqrt{2}(\cos(\frac{\pi}{4})\cos x + \sin(\frac{\pi}{4})\sin x) = \sqrt{2}\cos(x-\frac{\pi}{4})$.

Для $\sin x - \cos x$: $a=1, b=-1$, $R = \sqrt{1^2+(-1)^2}=\sqrt{2}$. Вынесем $\sqrt{2}$ за скобки:

$\sin x - \cos x = \sqrt{2}(\frac{1}{\sqrt{2}}\sin x - \frac{1}{\sqrt{2}}\cos x) = \sqrt{2}(\cos(\frac{\pi}{4})\sin x - \sin(\frac{\pi}{4})\cos x) = \sqrt{2}\sin(x-\frac{\pi}{4})$.

Подставим эти преобразования в исходное выражение. Для числителя используем формулу с косинусом, так как это приведет к удобному выражению $1-\cos \alpha$.

$\frac{\sqrt{2} - \sqrt{2}\cos(x-\frac{\pi}{4})}{\sqrt{2}\sin(x-\frac{\pi}{4})} = \frac{\sqrt{2}(1 - \cos(x-\frac{\pi}{4}))}{\sqrt{2}\sin(x-\frac{\pi}{4})} = \frac{1 - \cos(x-\frac{\pi}{4})}{\sin(x-\frac{\pi}{4})}$.

Сделаем замену переменной $y = x - \frac{\pi}{4}$. Выражение примет вид:

$\frac{1 - \cos y}{\sin y}$.

Теперь воспользуемся формулами половинного угла:

$1 - \cos y = 2\sin^2(\frac{y}{2})$

$\sin y = 2\sin(\frac{y}{2})\cos(\frac{y}{2})$

Подставим их в наше выражение:

$\frac{2\sin^2(\frac{y}{2})}{2\sin(\frac{y}{2})\cos(\frac{y}{2})} = \frac{\sin(\frac{y}{2})}{\cos(\frac{y}{2})} = \tan(\frac{y}{2})$.

Теперь вернемся к исходной переменной, подставив $y = x - \frac{\pi}{4}$:

$\tan(\frac{x - \frac{\pi}{4}}{2}) = \tan(\frac{x}{2} - \frac{\pi}{8})$.

Примечание: В исходном изображении, вероятно, опечатка, и выражение должно быть $\frac{\sqrt{2} - \cos x - \sin x}{\sin x - \cos x}$, а не $\frac{\sqrt{2 - \cos x - \sin x}}{\sin x - \cos x}$. Выражение из условия на изображении не упрощается до простого вида. Решение приведено для исправленного выражения.

Ответ: $\tan(\frac{x}{2} - \frac{\pi}{8})$.

2)

Упростим выражение $\frac{1 + \cos x + \sin x + \tan x}{\sin x + \cos x}$.

Область допустимых значений (ОДЗ):

1. Знаменатель не равен нулю: $\sin x + \cos x \ne 0 \implies x \ne -\frac{\pi}{4} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$.

2. Тангенс определен: $\cos x \ne 0 \implies x \ne \frac{\pi}{2} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$.

Представим $\tan x$ как $\frac{\sin x}{\cos x}$ и подставим в исходное выражение:

$\frac{1 + \cos x + \sin x + \frac{\sin x}{\cos x}}{\sin x + \cos x}$

Приведем числитель к общему знаменателю $\cos x$:

$\frac{\frac{\cos x (1 + \cos x + \sin x) + \sin x}{\cos x}}{\sin x + \cos x} = \frac{\cos x + \cos^2 x + \sin x \cos x + \sin x}{\cos x (\sin x + \cos x)}$

Сгруппируем слагаемые в числителе:

$(\sin x + \cos x) + (\cos^2 x + \sin x \cos x) = (\sin x + \cos x) + \cos x (\cos x + \sin x)$

Вынесем общий множитель $(\sin x + \cos x)$ за скобки:

$(\sin x + \cos x)(1 + \cos x)$

Теперь подставим это обратно в дробь:

$\frac{(\sin x + \cos x)(1 + \cos x)}{\cos x (\sin x + \cos x)}$

Так как из ОДЗ мы знаем, что $\sin x + \cos x \ne 0$, мы можем сократить эту скобку в числителе и знаменателе:

$\frac{1 + \cos x}{\cos x}$

Разделим почленно:

$\frac{1}{\cos x} + \frac{\cos x}{\cos x} = 1 + \frac{1}{\cos x}$.

Ответ: $1 + \frac{1}{\cos x}$.