Номер 1305, страница 407 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Алимов, Колягин

Упражнения для итогового повторения курса алгебры и начал математического анализа. 1. Числа и алгебраические преобразования - номер 1305, страница 407.

Условие.

1305 $\sin (x - 2\pi) \cos \left(\frac{3\pi}{2} - x\right) + \operatorname{tg} (\pi - x) \operatorname{tg} \left(\frac{3\pi}{2} + x\right).$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 5.

Решение 7.

Решение 8.

Для упрощения данного тригонометрического выражения воспользуемся формулами приведения и основными тригонометрическими тождествами.
Исходное выражение: $ \sin(x - 2\pi) \cos(\frac{3\pi}{2} - x) + \tg(\pi - x) \tg(\frac{3\pi}{2} + x) $.

Упростим каждый член выражения по отдельности, используя формулы приведения:
1. $ \sin(x - 2\pi) $: Функция синус является периодической с периодом $2\pi$. Следовательно, $ \sin(x - 2\pi) = \sin(x) $.
2. $ \cos(\frac{3\pi}{2} - x) $: Аргумент $ \frac{3\pi}{2} $ находится на вертикальной оси, поэтому функция косинус меняется на синус. Угол $ (\frac{3\pi}{2} - x) $ находится в III четверти, где косинус отрицателен. Таким образом, $ \cos(\frac{3\pi}{2} - x) = -\sin(x) $.
3. $ \tg(\pi - x) $: Аргумент $ \pi $ находится на горизонтальной оси, поэтому функция тангенс не меняется. Угол $ (\pi - x) $ находится во II четверти, где тангенс отрицателен. Следовательно, $ \tg(\pi - x) = -\tg(x) $.
4. $ \tg(\frac{3\pi}{2} + x) $: Аргумент $ \frac{3\pi}{2} $ находится на вертикальной оси, поэтому функция тангенс меняется на котангенс. Угол $ (\frac{3\pi}{2} + x) $ находится в IV четверти, где тангенс отрицателен. Поэтому, $ \tg(\frac{3\pi}{2} + x) = -\ctg(x) $.

Теперь подставим полученные упрощенные выражения в исходное уравнение:
$ (\sin(x)) \cdot (-\sin(x)) + (-\tg(x)) \cdot (-\ctg(x)) $

Выполним умножение в каждом слагаемом:
$ -\sin^2(x) + \tg(x) \cdot \ctg(x) $

Используем тождество $ \tg(x) \cdot \ctg(x) = 1 $ (при условии, что $ x \neq \frac{\pi k}{2} $ для целых $k$):
$ -\sin^2(x) + 1 $

Перепишем выражение в более привычном виде:
$ 1 - \sin^2(x) $

Согласно основному тригонометрическому тождеству $ \sin^2(x) + \cos^2(x) = 1 $, из которого следует, что $ \cos^2(x) = 1 - \sin^2(x) $.
Таким образом, финальное упрощенное выражение равно $ \cos^2(x) $.

Ответ: $ \cos^2(x) $