Номер 1300, страница 407 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Алимов, Колягин

Упражнения для итогового повторения курса алгебры и начал математического анализа. 1. Числа и алгебраические преобразования - номер 1300, страница 407.

Условие.

1300 1) $\frac{\operatorname{tg}^2 \alpha}{1 + \operatorname{ctg}^2 \alpha}$;

2) $\frac{1 + \operatorname{ctg}^2 \alpha}{\operatorname{ctg}^2 \alpha}$;

3) $\frac{\operatorname{tg} \alpha - \operatorname{tg} \beta}{\operatorname{ctg} \alpha + \operatorname{ctg} \beta}$;

4) $(\operatorname{tg} \alpha + \operatorname{ctg} \alpha)^2 - (\operatorname{tg} \alpha - \operatorname{ctg} \alpha)^2$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 5.

Решение 7.

Решение 8.

1)

Упростим выражение $\frac{\text{tg}^2\alpha}{1 + \text{ctg}^2\alpha}$.

Для упрощения воспользуемся основными тригонометрическими тождествами. Известно, что $1 + \text{ctg}^2\alpha = \frac{1}{\sin^2\alpha}$.

Также, по определению тангенса, $\text{tg}^2\alpha = \frac{\sin^2\alpha}{\cos^2\alpha}$.

Подставим эти выражения в исходную дробь:

$\frac{\text{tg}^2\alpha}{1 + \text{ctg}^2\alpha} = \frac{\frac{\sin^2\alpha}{\cos^2\alpha}}{\frac{1}{\sin^2\alpha}}$

Чтобы разделить на дробь, необходимо умножить на обратную (перевернутую) дробь:

$\frac{\sin^2\alpha}{\cos^2\alpha} \cdot \frac{\sin^2\alpha}{1} = \frac{\sin^4\alpha}{\cos^2\alpha}$

Полученное выражение можно также представить в виде произведения тангенса и синуса:

$\frac{\sin^2\alpha}{\cos^2\alpha} \cdot \sin^2\alpha = \text{tg}^2\alpha \cdot \sin^2\alpha$

Ответ: $\text{tg}^2\alpha \sin^2\alpha$

2)

Упростим выражение $\frac{1 + \text{ctg}^2\alpha}{\text{ctg}^2\alpha}$.

Разделим числитель почленно на знаменатель:

$\frac{1 + \text{ctg}^2\alpha}{\text{ctg}^2\alpha} = \frac{1}{\text{ctg}^2\alpha} + \frac{\text{ctg}^2\alpha}{\text{ctg}^2\alpha}$

Используя тождество $\frac{1}{\text{ctg}\alpha} = \text{tg}\alpha$, а также то, что любое число (кроме нуля), деленное на само себя, равно 1, получаем:

$\text{tg}^2\alpha + 1$

Согласно одному из основных тригонометрических тождеств, $1 + \text{tg}^2\alpha = \frac{1}{\cos^2\alpha}$.

Ответ: $\frac{1}{\cos^2\alpha}$

3)

Упростим выражение $\frac{\text{tg}\alpha - \text{tg}\beta}{\text{ctg}\alpha + \text{ctg}\beta}$.

Для начала выразим котангенсы в знаменателе через тангенсы, используя тождества $\text{ctg}\alpha = \frac{1}{\text{tg}\alpha}$ и $\text{ctg}\beta = \frac{1}{\text{tg}\beta}$.

Преобразуем знаменатель, приведя дроби к общему знаменателю:

$\text{ctg}\alpha + \text{ctg}\beta = \frac{1}{\text{tg}\alpha} + \frac{1}{\text{tg}\beta} = \frac{\text{tg}\beta + \text{tg}\alpha}{\text{tg}\alpha \cdot \text{tg}\beta}$

Теперь подставим полученное выражение обратно в исходную дробь:

$\frac{\text{tg}\alpha - \text{tg}\beta}{\frac{\text{tg}\alpha + \text{tg}\beta}{\text{tg}\alpha \cdot \text{tg}\beta}}$

Чтобы упростить эту "многоэтажную" дробь, умножим числитель на дробь, обратную знаменателю:

$(\text{tg}\alpha - \text{tg}\beta) \cdot \frac{\text{tg}\alpha \cdot \text{tg}\beta}{\text{tg}\alpha + \text{tg}\beta} = \frac{(\text{tg}\alpha - \text{tg}\beta)\text{tg}\alpha \text{tg}\beta}{\text{tg}\alpha + \text{tg}\beta}$

Дальнейшее упрощение без дополнительных условий невозможно.

Ответ: $\frac{(\text{tg}\alpha - \text{tg}\beta)\text{tg}\alpha \text{tg}\beta}{\text{tg}\alpha + \text{tg}\beta}$

4)

Упростим выражение $(\text{tg}\alpha + \text{ctg}\alpha)^2 - (\text{tg}\alpha - \text{ctg}\alpha)^2$.

Это выражение представляет собой разность квадратов. Воспользуемся формулой сокращенного умножения $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$.

В данном случае, пусть $a = \text{tg}\alpha + \text{ctg}\alpha$ и $b = \text{tg}\alpha - \text{ctg}\alpha$.

Найдем разность $(a-b)$:

$a-b = (\text{tg}\alpha + \text{ctg}\alpha) - (\text{tg}\alpha - \text{ctg}\alpha) = \text{tg}\alpha + \text{ctg}\alpha - \text{tg}\alpha + \text{ctg}\alpha = 2\text{ctg}\alpha$

Найдем сумму $(a+b)$:

$a+b = (\text{tg}\alpha + \text{ctg}\alpha) + (\text{tg}\alpha - \text{ctg}\alpha) = \text{tg}\alpha + \text{ctg}\alpha + \text{tg}\alpha - \text{ctg}\alpha = 2\text{tg}\alpha$

Теперь перемножим полученные результаты:

$(a-b)(a+b) = (2\text{ctg}\alpha) \cdot (2\text{tg}\alpha) = 4 \cdot \text{ctg}\alpha \cdot \text{tg}\alpha$

Так как произведение тангенса и котангенса одного и того же угла равно единице ($\text{ctg}\alpha \cdot \text{tg}\alpha = 1$), то:

$4 \cdot 1 = 4$

Ответ: 4