Номер 1293, страница 406 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Алимов, Колягин

Упражнения для итогового повторения курса алгебры и начал математического анализа. 1. Числа и алгебраические преобразования - номер 1293, страница 406.

Условие.

1293 Разложить на множители:

1) $1 + \cos \alpha + \sin \alpha;$

2) $1 - \cos \alpha - \sin \alpha;$

3) $3 - 4 \sin^2 \alpha;$

4) $1 - 4 \cos^2 \alpha.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 5.

Решение 7.

Решение 8.

1) Для разложения выражения $1 + \cos \alpha + \sin \alpha$ на множители сгруппируем первые два слагаемых и применим тригонометрические формулы.
Исходное выражение: $(1 + \cos \alpha) + \sin \alpha$.
Используем формулу косинуса двойного угла в виде $1 + \cos \alpha = 2 \cos^2(\frac{\alpha}{2})$ и формулу синуса двойного угла $\sin \alpha = 2 \sin(\frac{\alpha}{2}) \cos(\frac{\alpha}{2})$.
Подставив эти формулы в выражение, получим:
$2 \cos^2(\frac{\alpha}{2}) + 2 \sin(\frac{\alpha}{2}) \cos(\frac{\alpha}{2})$
Теперь можно вынести за скобки общий множитель $2 \cos(\frac{\alpha}{2})$:
$2 \cos(\frac{\alpha}{2}) \left( \cos(\frac{\alpha}{2}) + \sin(\frac{\alpha}{2}) \right)$
Ответ: $2 \cos(\frac{\alpha}{2}) \left( \cos(\frac{\alpha}{2}) + \sin(\frac{\alpha}{2}) \right)$.

2) Для разложения выражения $1 - \cos \alpha - \sin \alpha$ на множители поступим аналогично предыдущему пункту.
Исходное выражение: $(1 - \cos \alpha) - \sin \alpha$.
Используем формулу косинуса двойного угла в виде $1 - \cos \alpha = 2 \sin^2(\frac{\alpha}{2})$ и формулу синуса двойного угла $\sin \alpha = 2 \sin(\frac{\alpha}{2}) \cos(\frac{\alpha}{2})$.
Подставим эти формулы в выражение:
$2 \sin^2(\frac{\alpha}{2}) - 2 \sin(\frac{\alpha}{2}) \cos(\frac{\alpha}{2})$
Вынесем за скобки общий множитель $2 \sin(\frac{\alpha}{2})$:
$2 \sin(\frac{\alpha}{2}) \left( \sin(\frac{\alpha}{2}) - \cos(\frac{\alpha}{2}) \right)$
Ответ: $2 \sin(\frac{\alpha}{2}) \left( \sin(\frac{\alpha}{2}) - \cos(\frac{\alpha}{2}) \right)$.

3) Для разложения выражения $3 - 4 \sin^2 \alpha$ вынесем за скобки множитель 4:
$4 \left( \frac{3}{4} - \sin^2 \alpha \right)$
Представим $\frac{3}{4}$ как квадрат синуса. Мы знаем, что $\sin(\frac{\pi}{3}) = \frac{\sqrt{3}}{2}$, следовательно, $\sin^2(\frac{\pi}{3}) = \frac{3}{4}$.
Теперь выражение можно записать в виде:
$4 \left( \sin^2(\frac{\pi}{3}) - \sin^2 \alpha \right)$
Воспользуемся формулой разности квадратов синусов: $\sin^2 A - \sin^2 B = \sin(A - B)\sin(A + B)$.
Применив эту формулу, где $A = \frac{\pi}{3}$ и $B = \alpha$, получим:
$4 \sin\left(\frac{\pi}{3} - \alpha\right) \sin\left(\frac{\pi}{3} + \alpha\right)$
Ответ: $4 \sin\left(\frac{\pi}{3} - \alpha\right) \sin\left(\frac{\pi}{3} + \alpha\right)$.

4) Для разложения выражения $1 - 4 \cos^2 \alpha$ вынесем за скобки $-4$:
$1 - 4 \cos^2 \alpha = - (4 \cos^2 \alpha - 1) = -4 \left( \cos^2 \alpha - \frac{1}{4} \right)$
Представим $\frac{1}{4}$ как квадрат косинуса. Мы знаем, что $\cos(\frac{\pi}{3}) = \frac{1}{2}$, следовательно, $\cos^2(\frac{\pi}{3}) = \frac{1}{4}$.
Теперь выражение можно записать в виде:
$-4 \left( \cos^2 \alpha - \cos^2(\frac{\pi}{3}) \right)$
Воспользуемся формулой для разности квадратов косинусов: $\cos^2 A - \cos^2 B = -\sin(A - B)\sin(A + B)$.
Применив эту формулу, где $A = \alpha$ и $B = \frac{\pi}{3}$, получим:
$-4 \left( -\sin\left(\alpha - \frac{\pi}{3}\right) \sin\left(\alpha + \frac{\pi}{3}\right) \right) = 4 \sin\left(\alpha - \frac{\pi}{3}\right) \sin\left(\alpha + \frac{\pi}{3}\right)$
Используя свойство нечетности синуса, $\sin(\alpha - \frac{\pi}{3}) = -\sin(\frac{\pi}{3} - \alpha)$, преобразуем выражение к виду, более схожему с ответом в пункте 3:
$4 \left(-\sin\left(\frac{\pi}{3} - \alpha\right)\right) \sin\left(\frac{\pi}{3} + \alpha\right) = -4 \sin\left(\frac{\pi}{3} - \alpha\right) \sin\left(\frac{\pi}{3} + \alpha\right)$
Ответ: $-4 \sin\left(\frac{\pi}{3} - \alpha\right) \sin\left(\frac{\pi}{3} + \alpha\right)$.