Номер 1290, страница 406 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Алимов, Колягин

Упражнения для итогового повторения курса алгебры и начал математического анализа. 1. Числа и алгебраические преобразования - номер 1290, страница 406.

Условие.

Упростить выражение (1290—1291).

1290 1) $sin^2 (\alpha + 8\pi) + cos^2 (\alpha + 10\pi)$;

2) $cos^2 (\alpha + 6\pi) + cos^2 (\alpha - 4\pi)$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 5.

Решение 7.

Решение 8.

1) Упростим выражение $sin^2(\alpha + 8\pi) + cos^2(\alpha + 10\pi)$.

Воспользуемся свойством периодичности тригонометрических функций. Функции синуса и косинуса имеют основной период $2\pi$, что означает, что для любого целого числа $k$ выполняются равенства:

$sin(x + 2\pi k) = sin(x)$

$cos(x + 2\pi k) = cos(x)$

Рассмотрим первый член выражения: $sin^2(\alpha + 8\pi)$.

Поскольку $8\pi = 4 \cdot 2\pi$, мы можем применить свойство периодичности для синуса при $k=4$:

$sin(\alpha + 8\pi) = sin(\alpha + 4 \cdot 2\pi) = sin(\alpha)$.

Следовательно, $sin^2(\alpha + 8\pi) = (sin(\alpha))^2 = sin^2(\alpha)$.

Теперь рассмотрим второй член выражения: $cos^2(\alpha + 10\pi)$.

Поскольку $10\pi = 5 \cdot 2\pi$, мы можем применить свойство периодичности для косинуса при $k=5$:

$cos(\alpha + 10\pi) = cos(\alpha + 5 \cdot 2\pi) = cos(\alpha)$.

Следовательно, $cos^2(\alpha + 10\pi) = (cos(\alpha))^2 = cos^2(\alpha)$.

Подставим упрощенные члены обратно в исходное выражение:

$sin^2(\alpha + 8\pi) + cos^2(\alpha + 10\pi) = sin^2(\alpha) + cos^2(\alpha)$.

Применяя основное тригонометрическое тождество $sin^2(\alpha) + cos^2(\alpha) = 1$, получаем конечный результат.

Ответ: $1$

2) Упростим выражение $cos^2(\alpha + 6\pi) + cos^2(\alpha - 4\pi)$.

Снова воспользуемся свойством периодичности функции косинуса: $cos(x + 2\pi k) = cos(x)$ для любого целого числа $k$.

Упростим первый член выражения: $cos^2(\alpha + 6\pi)$.

Так как $6\pi = 3 \cdot 2\pi$, то $k=3$:

$cos(\alpha + 6\pi) = cos(\alpha + 3 \cdot 2\pi) = cos(\alpha)$.

Отсюда следует, что $cos^2(\alpha + 6\pi) = cos^2(\alpha)$.

Упростим второй член выражения: $cos^2(\alpha - 4\pi)$.

Так как $-4\pi = -2 \cdot 2\pi$, то $k=-2$:

$cos(\alpha - 4\pi) = cos(\alpha - 2 \cdot 2\pi) = cos(\alpha)$.

Отсюда следует, что $cos^2(\alpha - 4\pi) = cos^2(\alpha)$.

Подставим упрощенные выражения в исходное:

$cos^2(\alpha + 6\pi) + cos^2(\alpha - 4\pi) = cos^2(\alpha) + cos^2(\alpha) = 2cos^2(\alpha)$.

Ответ: $2cos^2(\alpha)$