Номер 1284, страница 405 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Алимов, Колягин

Упражнения для итогового повторения курса алгебры и начал математического анализа. 1. Числа и алгебраические преобразования - номер 1284, страница 405.

Условие.

1284 $\frac{a^{-1}b^{-2}-a^{-2}b^{-1}}{a^{-\frac{5}{3}}b^{-2}-b^{-\frac{5}{3}}a^{-2}} - a^{\frac{1}{3}}b^{\frac{1}{3}}$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 5.

Решение 7.

Решение 8.

Упростим данное выражение по шагам. Исходное выражение:

$ \frac{a^{-1}b^{-2} - a^{-2}b^{-1}}{a^{-\frac{5}{3}}b^{-2} - b^{-\frac{5}{3}}a^{-2}} - a^{\frac{1}{3}}b^{\frac{1}{3}} $

Сначала преобразуем дробь. Для этого вынесем общие множители за скобки в числителе и знаменателе.

В числителе $ a^{-1}b^{-2} - a^{-2}b^{-1} $ вынесем за скобки $ a^{-2}b^{-2} $:

$ a^{-1}b^{-2} - a^{-2}b^{-1} = a^{-2}b^{-2}(a^{-1-(-2)}b^{-2-(-2)} - a^{-2-(-2)}b^{-1-(-2)}) = a^{-2}b^{-2}(a^1b^0 - a^0b^1) = a^{-2}b^{-2}(a - b) $.

В знаменателе $ a^{-\frac{5}{3}}b^{-2} - b^{-\frac{5}{3}}a^{-2} $ также вынесем за скобки $ a^{-2}b^{-2} $:

$ a^{-\frac{5}{3}}b^{-2} - b^{-\frac{5}{3}}a^{-2} = a^{-2}b^{-2}(a^{-\frac{5}{3}-(-2)}b^{-2-(-2)} - a^{-2-(-2)}b^{-\frac{5}{3}-(-2)}) = a^{-2}b^{-2}(a^{\frac{1}{3}}b^0 - a^0b^{\frac{1}{3}}) = a^{-2}b^{-2}(a^{\frac{1}{3}} - b^{\frac{1}{3}}) $.

Теперь подставим преобразованные части обратно в дробь:

$ \frac{a^{-2}b^{-2}(a-b)}{a^{-2}b^{-2}(a^{\frac{1}{3}} - b^{\frac{1}{3}})} $

Сократим общий множитель $ a^{-2}b^{-2} $, при условии, что $ a \neq 0 $ и $ b \neq 0 $:

$ \frac{a-b}{a^{\frac{1}{3}} - b^{\frac{1}{3}}} $

Далее, применим формулу разности кубов $ x^3 - y^3 = (x-y)(x^2+xy+y^2) $. Для этого представим числитель $ a-b $ как разность кубов $ (a^{\frac{1}{3}})^3 - (b^{\frac{1}{3}})^3 $.

$ a-b = (a^{\frac{1}{3}} - b^{\frac{1}{3}})((a^{\frac{1}{3}})^2 + a^{\frac{1}{3}}b^{\frac{1}{3}} + (b^{\frac{1}{3}})^2) = (a^{\frac{1}{3}} - b^{\frac{1}{3}})(a^{\frac{2}{3}} + a^{\frac{1}{3}}b^{\frac{1}{3}} + b^{\frac{2}{3}}) $.

Подставим разложенный числитель в дробь и сократим общий множитель $ (a^{\frac{1}{3}} - b^{\frac{1}{3}}) $:

$ \frac{(a^{\frac{1}{3}} - b^{\frac{1}{3}})(a^{\frac{2}{3}} + a^{\frac{1}{3}}b^{\frac{1}{3}} + b^{\frac{2}{3}})}{a^{\frac{1}{3}} - b^{\frac{1}{3}}} = a^{\frac{2}{3}} + a^{\frac{1}{3}}b^{\frac{1}{3}} + b^{\frac{2}{3}} $.

Наконец, вернемся к исходному выражению, подставив упрощенное значение дроби:

$ (a^{\frac{2}{3}} + a^{\frac{1}{3}}b^{\frac{1}{3}} + b^{\frac{2}{3}}) - a^{\frac{1}{3}}b^{\frac{1}{3}} $

Приведем подобные слагаемые, сократив $ a^{\frac{1}{3}}b^{\frac{1}{3}} $ и $ -a^{\frac{1}{3}}b^{\frac{1}{3}} $:

$ a^{\frac{2}{3}} + a^{\frac{1}{3}}b^{\frac{1}{3}} - a^{\frac{1}{3}}b^{\frac{1}{3}} + b^{\frac{2}{3}} = a^{\frac{2}{3}} + b^{\frac{2}{3}} $.

Ответ: $ a^{\frac{2}{3}} + b^{\frac{2}{3}} $.