Номер 1279, страница 405 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Алимов, Колягин

Упражнения для итогового повторения курса алгебры и начал математического анализа. 1. Числа и алгебраические преобразования - номер 1279, страница 405.

Условие.

1279 1) $ \frac{1}{4+4\sqrt{a}} - \frac{1}{2-2a} + \frac{1}{4-4\sqrt{a}} $

2) $ \frac{a\sqrt{2}+a-\sqrt{2}-1}{a\sqrt{2}-2-\sqrt{2}+2a} $

Решение 1.

Решение 2.

Решение 5.

Решение 7.

Решение 8.

1) Упростим выражение $\frac{1}{4+4\sqrt{a}} - \frac{1}{2-2a} + \frac{1}{4-4\sqrt{a}}$.

Сначала сгруппируем первую и третью дроби:
$(\frac{1}{4+4\sqrt{a}} + \frac{1}{4-4\sqrt{a}}) - \frac{1}{2-2a}$

Вынесем общий множитель 4 в знаменателях первой и третьей дробей:
$\frac{1}{4(1+\sqrt{a})} + \frac{1}{4(1-\sqrt{a})}$

Приведем эти дроби к общему знаменателю $4(1+\sqrt{a})(1-\sqrt{a})$. Используя формулу разности квадратов $(x+y)(x-y)=x^2-y^2$, получим $4(1-a)$.
$\frac{1 \cdot (1-\sqrt{a}) + 1 \cdot (1+\sqrt{a})}{4(1+\sqrt{a})(1-\sqrt{a})} = \frac{1-\sqrt{a}+1+\sqrt{a}}{4(1-a)} = \frac{2}{4(1-a)} = \frac{1}{2(1-a)}$

Теперь вернемся к исходному выражению. Подставим полученный результат и преобразуем вторую дробь, вынеся 2 за скобки в знаменателе:
$\frac{1}{2(1-a)} - \frac{1}{2-2a} = \frac{1}{2(1-a)} - \frac{1}{2(1-a)}$

Выполним вычитание:
$\frac{1}{2(1-a)} - \frac{1}{2(1-a)} = 0$

Выражение имеет смысл при $a \ge 0$ и $a \ne 1$.

Ответ: $0$

2) Упростим выражение $\frac{a\sqrt{2}+a-\sqrt{2}-1}{a\sqrt{2}-2-\sqrt{2}+2a}$.

Разложим на множители числитель и знаменатель методом группировки.

Числитель:
$a\sqrt{2}+a-\sqrt{2}-1 = (a\sqrt{2}-\sqrt{2}) + (a-1) = \sqrt{2}(a-1) + 1(a-1) = (a-1)(\sqrt{2}+1)$

Знаменатель (сначала перегруппируем слагаемые для удобства):
$a\sqrt{2}-2-\sqrt{2}+2a = (a\sqrt{2}-\sqrt{2}) + (2a-2) = \sqrt{2}(a-1) + 2(a-1) = (a-1)(\sqrt{2}+2)$

Теперь подставим разложенные выражения обратно в дробь:
$\frac{(a-1)(\sqrt{2}+1)}{(a-1)(\sqrt{2}+2)}$

Сократим общий множитель $(a-1)$, при условии, что $a \ne 1$:
$\frac{\sqrt{2}+1}{\sqrt{2}+2}$

Упростим полученное выражение. Вынесем $\sqrt{2}$ за скобки в знаменателе:
$\frac{\sqrt{2}+1}{2+\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}+1}{\sqrt{2}(\sqrt{2})+\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}+1}{\sqrt{2}(\sqrt{2}+1)}$

Сократим дробь на $(\sqrt{2}+1)$:
$\frac{1}{\sqrt{2}}$

Избавимся от иррациональности в знаменателе, домножив числитель и знаменатель на $\sqrt{2}$:
$\frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{1 \cdot \sqrt{2}}{\sqrt{2} \cdot \sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}$

Ответ: $\frac{\sqrt{2}}{2}$