Номер 1272, страница 404 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Алимов, Колягин

Упражнения для итогового повторения курса алгебры и начал математического анализа. 1. Числа и алгебраические преобразования - номер 1272, страница 404.

Условие.

1272 1) $ \sin \left( 2 \arcsin \frac{\sqrt{3}}{2} \right); $

2) $ \text{tg} (2 \text{arctg} 3). $

Решение 1.

Решение 2.

Решение 5.

Решение 7.

Решение 8.

1)

Вычислим значение выражения $ \sin\left(2 \arcsin\frac{\sqrt{3}}{2}\right) $.
Сначала найдем значение внутреннего выражения $ \arcsin\frac{\sqrt{3}}{2} $. По определению, арксинус числа $a$ (обозначается $ \arcsin a $) — это угол $ \alpha $ из отрезка $ \left[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right] $, синус которого равен $a$.
Мы ищем угол $ \alpha $, такой что $ \sin\alpha = \frac{\sqrt{3}}{2} $. Известно, что $ \sin\frac{\pi}{3} = \frac{\sqrt{3}}{2} $.
Поскольку $ \frac{\pi}{3} \in \left[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right] $, то $ \arcsin\frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{\pi}{3} $.
Теперь подставим это значение в исходное выражение:
$ \sin\left(2 \cdot \frac{\pi}{3}\right) = \sin\frac{2\pi}{3} $.
Используя формулу приведения, получаем: $ \sin\frac{2\pi}{3} = \sin\left(\pi - \frac{\pi}{3}\right) = \sin\frac{\pi}{3} = \frac{\sqrt{3}}{2} $.
Ответ: $ \frac{\sqrt{3}}{2} $.

2)

Вычислим значение выражения $ \text{tg}(2 \text{arctg } 3) $.
Используем формулу тангенса двойного угла: $ \text{tg}(2\alpha) = \frac{2\text{tg}\alpha}{1 - \text{tg}^2\alpha} $.
Пусть $ \alpha = \text{arctg } 3 $. По определению арктангенса ($ \text{tg}(\text{arctg } x) = x $), имеем:
$ \text{tg}\alpha = \text{tg}(\text{arctg } 3) = 3 $.
Подставим это значение в формулу:
$ \text{tg}(2 \text{arctg } 3) = \frac{2 \cdot 3}{1 - 3^2} = \frac{6}{1 - 9} = \frac{6}{-8} = -\frac{3}{4} $.
Ответ: $ -\frac{3}{4} $.