Номер 1265, страница 403 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Алимов, Колягин

Упражнения для итогового повторения курса алгебры и начал математического анализа. 1. Числа и алгебраические преобразования - номер 1265, страница 403.

Условие.

1265 1) Вычислить диаметр $x$ круга, вписанного в равносторонний треугольник (рис. 186), если $a = 6 \text{ см}$.

2) Вычислить угол $\alpha$ заготовки, изображённой на рисунке 187, если $a = 4 \text{ см}$.

Рис. 186

Рис. 187

Решение 1.

Решение 2.

Решение 5.

Решение 7.

Решение 8.

1) Для решения этой задачи мы имеем дело с равносторонним треугольником, в который вписан круг. Сторона этого треугольника, согласно условию и рисунку 186, равна $a = 6$ см. Нам необходимо найти диаметр $x$ вписанного круга.

Радиус $r$ круга, вписанного в равносторонний треугольник, связан с высотой $h$ этого треугольника. Центр вписанного круга в равностороннем треугольнике совпадает с точкой пересечения его медиан, биссектрис и высот. Эта точка делит высоту в отношении 2:1, считая от вершины. Радиус вписанного круга равен одной трети высоты треугольника: $r = \frac{1}{3}h$.

Сначала найдем высоту $h$ равностороннего треугольника со стороной $a$. Высоту можно найти по формуле $h = \frac{a\sqrt{3}}{2}$.

Подставим значение $a = 6$ см:

$h = \frac{6\sqrt{3}}{2} = 3\sqrt{3}$ см.

Теперь найдем радиус вписанного круга:

$r = \frac{1}{3}h = \frac{1}{3} \times 3\sqrt{3} = \sqrt{3}$ см.

Диаметр $x$ круга в два раза больше его радиуса:

$x = 2r = 2\sqrt{3}$ см.

Для получения численного значения используем приближенное значение $\sqrt{3} \approx 1.732$:

$x \approx 2 \times 1.732 = 3.464$ см.

Ответ: $x = 2\sqrt{3} \text{ см} \approx 3.464 \text{ см}$.

2) На рисунке 187 изображена заготовка, состоящая из цилиндрической части и конического наконечника. Нам нужно вычислить угол $\alpha$ при вершине конуса.

Рассмотрим осевое сечение конического наконечника. Это сечение представляет собой равнобедренный треугольник. Основание этого треугольника равно диаметру цилиндрической части (4,5 см), а высота, проведенная к основанию, равна длине конической части $a = 4$ см. Угол при вершине этого треугольника равен $\alpha$.

Эта высота делит равнобедренный треугольник на два одинаковых прямоугольных треугольника. В каждом таком прямоугольном треугольнике катет, прилежащий к углу $\frac{\alpha}{2}$, равен высоте конуса ($a=4$ см), а катет, противолежащий этому углу, равен половине диаметра ($\frac{4.5}{2} = 2.25$ см).

Мы можем использовать тригонометрическую функцию тангенса для нахождения угла $\frac{\alpha}{2}$:

$\tan(\frac{\alpha}{2}) = \frac{\text{противолежащий катет}}{\text{прилежащий катет}} = \frac{2.25}{4}$

Вычислим значение тангенса:

$\tan(\frac{\alpha}{2}) = 0.5625$

Теперь найдем значение угла $\frac{\alpha}{2}$ с помощью функции арктангенса:

$\frac{\alpha}{2} = \arctan(0.5625)$

Используя калькулятор, находим:

$\frac{\alpha}{2} \approx 29.358^\circ$

Чтобы найти полный угол $\alpha$, умножим это значение на 2:

$\alpha = 2 \times 29.358^\circ \approx 58.716^\circ$

Округлим результат до одного знака после запятой.

Ответ: $\alpha \approx 58.7^\circ$.