Номер 1264, страница 403 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Алимов, Колягин

Упражнения для итогового повторения курса алгебры и начал математического анализа. 1. Числа и алгебраические преобразования - номер 1264, страница 403.

Условие.

1264 Пусть $0 < a < b$. Доказать, что на числовой оси:

1) точка $\frac{a+b}{2}$ — середина отрезка $[a; b]$;

2) точка $\frac{a+bc}{1+c}$, где $c > 0$, лежит внутри отрезка $[a; b]$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 5.

Решение 7.

Решение 8.

1) точка $\frac{a+b}{2}$ — середина отрезка $[a; b]$

Чтобы доказать, что точка с координатой $m = \frac{a+b}{2}$ является серединой отрезка $[a; b]$, нужно показать, что она равноудалена от концов этого отрезка, то есть расстояние от точки $m$ до точки $a$ равно расстоянию от точки $m$ до точки $b$. Также необходимо, чтобы точка $m$ принадлежала отрезку $[a; b]$.

Сначала проверим, что точка $m$ лежит на отрезке $[a; b]$, то есть выполняется неравенство $a \le m \le b$.

Проверим левую часть неравенства: $a \le \frac{a+b}{2}$.
Так как по условию $a < b$, мы можем прибавить $a$ к обеим частям: $a+a < a+b$, что дает $2a < a+b$. Разделив обе части на 2 (положительное число), получаем $a < \frac{a+b}{2}$. Неравенство $a \le m$ выполняется.

Проверим правую часть неравенства: $\frac{a+b}{2} \le b$.
Так как $a < b$, мы можем прибавить $b$ к обеим частям: $a+b < b+b$, что дает $a+b < 2b$. Разделив обе части на 2, получаем $\frac{a+b}{2} < b$. Неравенство $m \le b$ выполняется.

Таким образом, мы доказали, что $a < \frac{a+b}{2} < b$, а значит, точка лежит внутри отрезка.

Теперь найдем расстояния от точки $m$ до концов отрезка. Поскольку $a < m < b$, расстояния вычисляются как $m-a$ и $b-m$.

Расстояние от $m$ до $a$:
$m - a = \frac{a+b}{2} - a = \frac{a+b-2a}{2} = \frac{b-a}{2}$.

Расстояние от $b$ до $m$:
$b - m = b - \frac{a+b}{2} = \frac{2b-(a+b)}{2} = \frac{2b-a-b}{2} = \frac{b-a}{2}$.

Расстояния равны: $m-a = b-m = \frac{b-a}{2}$. Следовательно, точка $m = \frac{a+b}{2}$ равноудалена от концов отрезка и лежит на нем, а значит, является его серединой.

Ответ: Утверждение доказано.

2) точка $\frac{a+bc}{1+c}$, где $c > 0$, лежит внутри отрезка $[a; b]$

Обозначим данную точку как $x = \frac{a+bc}{1+c}$. Чтобы доказать, что она лежит внутри отрезка $[a; b]$, мы должны показать, что выполняется строгое двойное неравенство $a < x < b$.

Сначала докажем левую часть неравенства: $a < x$.

$a < \frac{a+bc}{1+c}$

По условию $c > 0$, следовательно, знаменатель $1+c$ также больше нуля ($1+c > 1$). Мы можем умножить обе части неравенства на $1+c$, не меняя знака неравенства:

$a(1+c) < a+bc$

$a+ac < a+bc$

Вычтем $a$ из обеих частей:

$ac < bc$

Поскольку $c > 0$, мы можем разделить обе части на $c$, не меняя знака неравенства:

$a < b$

Это неравенство истинно согласно условию задачи. Следовательно, первая часть ($a < x$) верна.

Теперь докажем правую часть неравенства: $x < b$.

$\frac{a+bc}{1+c} < b$

Снова умножим обе части на положительное число $1+c$:

$a+bc < b(1+c)$

$a+bc < b+bc$

Вычтем $bc$ из обеих частей:

$a < b$

Это неравенство также истинно по условию. Следовательно, вторая часть ($x < b$) верна.

Поскольку верны оба неравенства $a < x$ и $x < b$, то выполняется и двойное неравенство $a < x < b$. Это означает, что точка $x = \frac{a+bc}{1+c}$ действительно лежит внутри отрезка $[a; b]$.

Ответ: Утверждение доказано.