Номер 1262, страница 403 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Алимов, Колягин

Упражнения для итогового повторения курса алгебры и начал математического анализа. 1. Числа и алгебраические преобразования - номер 1262, страница 403.

Условие.

1262 Пусть $a$ — рациональное число, $b$ — иррациональное число, $a \neq 0, b \neq 0$. Доказать, что $a + b$, $a \cdot b$, $\frac{a}{b}$, $\frac{b}{a}$ — иррациональные числа.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 5.

Решение 7.

Решение 8.

По условию задачи дано: $a$ — рациональное число ($a \in \mathbb{Q}$), $b$ — иррациональное число ($b \in \mathbb{I}$), причём $a \neq 0$ и $b \neq 0$.

Для доказательства всех четырёх утверждений мы будем использовать метод от противного. Основная идея заключается в том, что множество рациональных чисел $\mathbb{Q}$ замкнуто относительно операций сложения, вычитания, умножения и деления (на ненулевое число). Это значит, что результат этих операций над рациональными числами всегда является рациональным числом. Если, предположив, что результат выражения рационален, мы придём к выводу, что $b$ также является рациональным числом, это будет противоречием исходному условию и докажет наше утверждение.

$a + b$

Предположим, что сумма $a + b$ является рациональным числом. Обозначим её как $c$. Тогда $a + b = c$, где $c \in \mathbb{Q}$. Выразим из этого равенства $b$: $b = c - a$. По условию, $a$ — рациональное число. По нашему предположению, $c$ — тоже рациональное число. Разность двух рациональных чисел ($c$ и $a$) всегда является рациональным числом, следовательно, $b$ должно быть рациональным числом. Это противоречит исходному условию, что $b$ — иррациональное число. Следовательно, наше первоначальное предположение было неверным.

Ответ: $a + b$ — иррациональное число.

$a \cdot b$

Предположим, что произведение $a \cdot b$ является рациональным числом. Обозначим его как $d$. Тогда $a \cdot b = d$, где $d \in \mathbb{Q}$. Поскольку по условию $a \neq 0$, мы можем выразить $b$, разделив обе части на $a$: $b = \frac{d}{a}$. По условию, $a$ — рациональное число. По нашему предположению, $d$ — тоже рациональное число. Частное от деления рационального числа на ненулевое рациональное число является рациональным числом. Следовательно, $b$ должно быть рациональным числом. Это противоречит условию, что $b$ — иррациональное число. Следовательно, наше предположение было неверным.

Ответ: $a \cdot b$ — иррациональное число.

$\frac{a}{b}$

Предположим, что частное $\frac{a}{b}$ является рациональным числом. Обозначим его как $e$. Тогда $\frac{a}{b} = e$, где $e \in \mathbb{Q}$. Поскольку $a \neq 0$ и $b \neq 0$, то и $e = \frac{a}{b} \neq 0$. Выразим $b$ из этого равенства. Сначала перепишем его как $a = e \cdot b$. Так как $e \neq 0$, можем разделить на $e$: $b = \frac{a}{e}$. По условию, $a$ — рациональное число. По нашему предположению, $e$ — тоже рациональное (и ненулевое) число. Их частное $\frac{a}{e}$ является рациональным числом. Следовательно, $b$ должно быть рациональным числом. Это противоречит условию, что $b$ — иррациональное число. Следовательно, наше предположение было неверным.

Ответ: $\frac{a}{b}$ — иррациональное число.

$\frac{b}{a}$

Предположим, что частное $\frac{b}{a}$ является рациональным числом. Обозначим его как $f$. Тогда $\frac{b}{a} = f$, где $f \in \mathbb{Q}$. Выразим $b$ из этого равенства, умножив обе части на $a$: $b = f \cdot a$. По условию, $a$ — рациональное число. По нашему предположению, $f$ — тоже рациональное число. Произведение двух рациональных чисел ($f$ и $a$) является рациональным числом. Следовательно, $b$ должно быть рациональным числом. Это противоречит условию, что $b$ — иррациональное число. Следовательно, наше предположение было неверным.

Ответ: $\frac{b}{a}$ — иррациональное число.