Номер 1255, страница 402 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Алимов, Колягин

Упражнения для итогового повторения курса алгебры и начал математического анализа. 1. Числа и алгебраические преобразования - номер 1255, страница 402.

Условие.

1255 1) $\sqrt{a^4(9a^2-6a+1)}$;

2) $\sqrt{b^2(4b^4+4b^2+1)}.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 5.

Решение 7.

Решение 8.

1)

Для того чтобы упростить выражение $\sqrt{a^4(9a^2 - 6a + 1)}$, преобразуем подкоренное выражение.
Множитель $a^4$ можно представить как $(a^2)^2$.
Трехчлен $9a^2 - 6a + 1$ является полным квадратом разности, так как соответствует формуле $(x-y)^2 = x^2 - 2xy + y^2$.
В данном случае $x = 3a$ и $y = 1$. Проверка: $(3a)^2 - 2 \cdot 3a \cdot 1 + 1^2 = 9a^2 - 6a + 1$.
Следовательно, $9a^2 - 6a + 1 = (3a - 1)^2$.
Теперь подставим преобразованные части обратно в исходное выражение:
$\sqrt{a^4(9a^2 - 6a + 1)} = \sqrt{(a^2)^2 (3a - 1)^2}$.
Используя свойство корня из произведения $\sqrt{x \cdot y} = \sqrt{x} \cdot \sqrt{y}$ (для неотрицательных x и y), а также основное свойство квадратного корня $\sqrt{z^2} = |z|$, получаем:
$\sqrt{(a^2)^2} \cdot \sqrt{(3a - 1)^2} = |a^2| \cdot |3a - 1|$.
Поскольку $a^2$ является квадратом числа, это выражение всегда неотрицательно ($a^2 \ge 0$), поэтому $|a^2| = a^2$.
Выражение $3a - 1$ может принимать как положительные, так и отрицательные значения в зависимости от $a$, поэтому знак модуля для этого выражения необходимо сохранить.
В результате получаем: $a^2|3a - 1|$.
Ответ: $a^2|3a - 1|$.

2)

Упростим выражение $\sqrt{b^2(4b^4 + 4b^2 + 1)}$.
Рассмотрим выражение под корнем.
Трехчлен $4b^4 + 4b^2 + 1$ является полным квадратом суммы. Воспользуемся формулой $(x+y)^2 = x^2 + 2xy + y^2$.
В данном случае $x = 2b^2$ и $y = 1$. Проверка: $(2b^2)^2 + 2 \cdot 2b^2 \cdot 1 + 1^2 = 4b^4 + 4b^2 + 1$.
Следовательно, $4b^4 + 4b^2 + 1 = (2b^2 + 1)^2$.
Подставим полученное выражение обратно под корень:
$\sqrt{b^2(4b^4 + 4b^2 + 1)} = \sqrt{b^2 (2b^2 + 1)^2}$.
Применим свойства корня $\sqrt{x \cdot y} = \sqrt{x} \cdot \sqrt{y}$ и $\sqrt{z^2} = |z|$:
$\sqrt{b^2} \cdot \sqrt{(2b^2 + 1)^2} = |b| \cdot |2b^2 + 1|$.
Рассмотрим каждый модуль отдельно.
Выражение $b$ может быть как положительным, так и отрицательным, поэтому $|b|$ оставляем.
Выражение $2b^2 + 1$ всегда положительно для любого действительного значения $b$, так как $b^2 \ge 0$, следовательно $2b^2 \ge 0$, и $2b^2 + 1 \ge 1$. Таким образом, $|2b^2 + 1| = 2b^2 + 1$.
В результате получаем: $|b|(2b^2 + 1)$.
Ответ: $|b|(2b^2 + 1)$.