Номер 1253, страница 402 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Алимов, Колягин

Упражнения для итогового повторения курса алгебры и начал математического анализа. 1. Числа и алгебраические преобразования - номер 1253, страница 402.

Условие.

1253 Между какими целыми числами заключено число:

1) $lg 50$;

2) $log_2 10$?

Решение 1.

Решение 2.

Решение 5.

Решение 7.

Решение 8.

1) Чтобы определить, между какими целыми числами находится число $lg 50$, нужно найти два последовательных целых числа $n$ и $n+1$, для которых выполняется неравенство $n < lg 50 < n+1$.

Запись $lg 50$ означает десятичный логарифм, то есть логарифм по основанию 10: $lg 50 = \log_{10} 50$.

Неравенство $n < \log_{10} 50 < n+1$ по определению логарифма эквивалентно неравенству $10^n < 50 < 10^{n+1}$.

Найдем ближайшие к 50 степени числа 10:

$10^1 = 10$

$10^2 = 100$

Очевидно, что $10 < 50 < 100$.

Подставляя степени, получаем: $10^1 < 50 < 10^2$.

Поскольку логарифмическая функция с основанием 10 является возрастающей, мы можем логарифмировать все части неравенства:

$\log_{10}(10^1) < \log_{10} 50 < \log_{10}(10^2)$

Вычисляя значения логарифмов, получаем:

$1 < \lg 50 < 2$

Следовательно, число $lg 50$ заключено между целыми числами 1 и 2.

Ответ: между 1 и 2.

2) Чтобы определить, между какими целыми числами находится число $\log_2 10$, нужно найти два последовательных целых числа $n$ и $n+1$, для которых выполняется неравенство $n < \log_2 10 < n+1$.

Это неравенство по определению логарифма эквивалентно неравенству $2^n < 10 < 2^{n+1}$.

Найдем ближайшие к 10 степени числа 2:

$2^1 = 2$

$2^2 = 4$

$2^3 = 8$

$2^4 = 16$

Очевидно, что $8 < 10 < 16$.

Подставляя степени, получаем: $2^3 < 10 < 2^4$.

Поскольку логарифмическая функция с основанием 2 является возрастающей (так как $2 > 1$), мы можем логарифмировать все части неравенства:

$\log_2(2^3) < \log_2 10 < \log_2(2^4)$

Вычисляя значения логарифмов, получаем:

$3 < \log_2 10 < 4$

Следовательно, число $\log_2 10$ заключено между целыми числами 3 и 4.

Ответ: между 3 и 4.