Номер 1254, страница 402 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Алимов, Колягин

Упражнения для итогового повторения курса алгебры и начал математического анализа. 1. Числа и алгебраические преобразования - номер 1254, страница 402.

Условие.

Упростить (1254—1255).

1254 1) $3 \sqrt{\frac{5}{9}} - \frac{1}{2} \sqrt{20} + 3 \sqrt{180} - 4 \sqrt{\frac{125}{4}} ;$

2) $\frac{1}{\sqrt{6}-\sqrt{5}} - \frac{3}{\sqrt{5}+\sqrt{2}} - \frac{4}{\sqrt{6}-\sqrt{2}}.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 5.

Решение 7.

Решение 8.

1) $3\sqrt{\frac{5}{9}} - \frac{1}{2}\sqrt{20} + 3\sqrt{180} - 4\sqrt{\frac{125}{4}}$

Для упрощения данного выражения, необходимо упростить каждый член по отдельности, вынося множители из-под знака корня, чтобы привести все члены к общему радикалу $\sqrt{5}$.

1. Упростим первый член: $3\sqrt{\frac{5}{9}} = 3 \cdot \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{9}} = 3 \cdot \frac{\sqrt{5}}{3} = \sqrt{5}$.

2. Упростим второй член: $-\frac{1}{2}\sqrt{20} = -\frac{1}{2}\sqrt{4 \cdot 5} = -\frac{1}{2} \cdot 2\sqrt{5} = -\sqrt{5}$.

3. Упростим третий член: $3\sqrt{180} = 3\sqrt{36 \cdot 5} = 3 \cdot 6\sqrt{5} = 18\sqrt{5}$.

4. Упростим четвертый член: $-4\sqrt{\frac{125}{4}} = -4 \cdot \frac{\sqrt{125}}{\sqrt{4}} = -4 \cdot \frac{\sqrt{25 \cdot 5}}{2} = -2 \cdot 5\sqrt{5} = -10\sqrt{5}$.

Теперь сложим все упрощенные члены:

$\sqrt{5} - \sqrt{5} + 18\sqrt{5} - 10\sqrt{5} = (1 - 1 + 18 - 10)\sqrt{5} = 8\sqrt{5}$.

Ответ: $8\sqrt{5}$

2) $\frac{1}{\sqrt{6}-\sqrt{5}} - \frac{3}{\sqrt{5}+\sqrt{2}} - \frac{4}{\sqrt{6}-\sqrt{2}}$

Для упрощения этого выражения избавимся от иррациональности в знаменателе каждой дроби. Для этого умножим числитель и знаменатель каждой дроби на выражение, сопряженное ее знаменателю. Упростим каждый член по отдельности.

1. Первый член: $\frac{1}{\sqrt{6}-\sqrt{5}} = \frac{1 \cdot (\sqrt{6}+\sqrt{5})}{(\sqrt{6}-\sqrt{5})(\sqrt{6}+\sqrt{5})} = \frac{\sqrt{6}+\sqrt{5}}{(\sqrt{6})^2 - (\sqrt{5})^2} = \frac{\sqrt{6}+\sqrt{5}}{6-5} = \sqrt{6}+\sqrt{5}$.

2. Второй член: $-\frac{3}{\sqrt{5}+\sqrt{2}} = -\frac{3 \cdot (\sqrt{5}-\sqrt{2})}{(\sqrt{5}+\sqrt{2})(\sqrt{5}-\sqrt{2})} = -\frac{3(\sqrt{5}-\sqrt{2})}{(\sqrt{5})^2 - (\sqrt{2})^2} = -\frac{3(\sqrt{5}-\sqrt{2})}{5-2} = -\frac{3(\sqrt{5}-\sqrt{2})}{3} = -(\sqrt{5}-\sqrt{2}) = -\sqrt{5}+\sqrt{2}$.

3. Третий член: $-\frac{4}{\sqrt{6}-\sqrt{2}} = -\frac{4 \cdot (\sqrt{6}+\sqrt{2})}{(\sqrt{6}-\sqrt{2})(\sqrt{6}+\sqrt{2})} = -\frac{4(\sqrt{6}+\sqrt{2})}{(\sqrt{6})^2 - (\sqrt{2})^2} = -\frac{4(\sqrt{6}+\sqrt{2})}{6-2} = -\frac{4(\sqrt{6}+\sqrt{2})}{4} = -(\sqrt{6}+\sqrt{2}) = -\sqrt{6}-\sqrt{2}$.

Теперь сложим полученные выражения:

$(\sqrt{6}+\sqrt{5}) + (-\sqrt{5}+\sqrt{2}) + (-\sqrt{6}-\sqrt{2}) = \sqrt{6}+\sqrt{5} - \sqrt{5} + \sqrt{2} - \sqrt{6} - \sqrt{2}$.

Сгруппируем и сократим подобные члены:

$(\sqrt{6}-\sqrt{6}) + (\sqrt{5}-\sqrt{5}) + (\sqrt{2}-\sqrt{2}) = 0+0+0=0$.

Ответ: $0$