Номер 1251, страница 402 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Алимов, Колягин

Упражнения для итогового повторения курса алгебры и начал математического анализа. 1. Числа и алгебраические преобразования - номер 1251, страница 402.

Условие.

1251 Какому из промежутков $(0; 1)$ или $(1; +\infty)$ принадлежит число $a$, если:

1) $a^{0.2} > 1$;

2) $a^{-1.3} > 1$;

3) $a^{-3.1} < 1$;

4) $a^{2.7} < 1$;

5) $\log_a 0.2 > 0$;

6) $\log_a 1.3 > 0$?

Решение 1.

Решение 2.

Решение 5.

Решение 7.

Решение 8.

Для решения данной задачи необходимо знать свойства показательной и логарифмической функций в зависимости от их основания $a$.

Свойства показательной функции $y = a^x$:

• Если основание $a > 1$, функция является возрастающей. Это означает, что для любых $x_1 > x_2$ выполняется неравенство $a^{x_1} > a^{x_2}$. Знак неравенства для значений функции совпадает со знаком неравенства для аргументов.
• Если $0 < a < 1$, функция является убывающей. Это означает, что для любых $x_1 > x_2$ выполняется неравенство $a^{x_1} < a^{x_2}$. Знак неравенства для значений функции противоположен знаку неравенства для аргументов.
• Для любого основания $a > 0, a \neq 1$, справедливо равенство $a^0 = 1$.

Свойства логарифмической функции $y = \log_a x$:

• Если основание $a > 1$, функция является возрастающей. Это означает, что для любых $x_1 > x_2 > 0$ выполняется неравенство $\log_a x_1 > \log_a x_2$. Знак неравенства для значений функции совпадает со знаком неравенства для аргументов.
• Если $0 < a < 1$, функция является убывающей. Это означает, что для любых $x_1 > x_2 > 0$ выполняется неравенство $\log_a x_1 < \log_a x_2$. Знак неравенства для значений функции противоположен знаку неравенства для аргументов.
• Для любого основания $a > 0, a \neq 1$, справедливо равенство $\log_a 1 = 0$.

Применим эти свойства для каждого случая.

1) Дано неравенство $a^{0.2} > 1$.

Заменим 1 на $a^0$, чтобы сравнить степени с одинаковым основанием: $a^{0.2} > a^0$.

Мы сравниваем значения функции $y=a^x$ в точках $x_1=0.2$ и $x_2=0$. Так как $0.2 > 0$, а знак неравенства для значений функции ($>$) совпадает со знаком неравенства для аргументов ($0.2 > 0$), мы делаем вывод, что показательная функция является возрастающей. Это справедливо при $a > 1$.

Ответ: $a \in (1; +\infty)$.

2) Дано неравенство $a^{-1.3} > 1$.

Заменим 1 на $a^0$: $a^{-1.3} > a^0$.

Сравниваем значения функции в точках $x_1=-1.3$ и $x_2=0$. Так как $-1.3 < 0$, а знак неравенства для значений функции ($>$) противоположен знаку неравенства для аргументов ($-1.3 < 0$), мы делаем вывод, что показательная функция является убывающей. Это справедливо при $0 < a < 1$.

Ответ: $a \in (0; 1)$.

3) Дано неравенство $a^{-3.1} < 1$.

Заменим 1 на $a^0$: $a^{-3.1} < a^0$.

Сравниваем значения функции в точках $x_1=-3.1$ и $x_2=0$. Так как $-3.1 < 0$, а знак неравенства для значений функции ($<$) совпадает со знаком неравенства для аргументов ($-3.1 < 0$), мы делаем вывод, что показательная функция является возрастающей. Это справедливо при $a > 1$.

Ответ: $a \in (1; +\infty)$.

4) Дано неравенство $a^{2.7} < 1$.

Заменим 1 на $a^0$: $a^{2.7} < a^0$.

Сравниваем значения функции в точках $x_1=2.7$ и $x_2=0$. Так как $2.7 > 0$, а знак неравенства для значений функции ($<$) противоположен знаку неравенства для аргументов ($2.7 > 0$), мы делаем вывод, что показательная функция является убывающей. Это справедливо при $0 < a < 1$.

Ответ: $a \in (0; 1)$.

5) Дано неравенство $\log_a 0.2 > 0$.

Заменим 0 на $\log_a 1$, чтобы сравнить логарифмы с одинаковым основанием: $\log_a 0.2 > \log_a 1$.

Мы сравниваем значения функции $y=\log_a x$ для аргументов $x_1=0.2$ и $x_2=1$. Так как $0.2 < 1$, а знак неравенства для значений функции ($>$) противоположен знаку неравенства для аргументов ($0.2 < 1$), мы делаем вывод, что логарифмическая функция является убывающей. Это справедливо при $0 < a < 1$.

Ответ: $a \in (0; 1)$.

6) Дано неравенство $\log_a 1.3 > 0$.

Заменим 0 на $\log_a 1$: $\log_a 1.3 > \log_a 1$.

Сравниваем значения функции $y=\log_a x$ для аргументов $x_1=1.3$ и $x_2=1$. Так как $1.3 > 1$, а знак неравенства для значений функции ($>$) совпадает со знаком неравенства для аргументов ($1.3 > 1$), мы делаем вывод, что логарифмическая функция является возрастающей. Это справедливо при $a > 1$.

Ответ: $a \in (1; +\infty)$.