Номер 1245, страница 401 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Алимов, Колягин

Упражнения для итогового повторения курса алгебры и начал математического анализа. 1. Числа и алгебраические преобразования - номер 1245, страница 401.

Условие.

Вычислить (1245–1249).

1245 $\left(\frac{15 \cdot 5^{\frac{1}{2}}}{125^{-\frac{1}{3}}} - 2 \cdot 7^{\frac{1}{2}} \cdot 49^{\frac{1}{4}}\right) \left(\left(\frac{1}{81}\right)^{-\frac{1}{4}} + 45^{\frac{1}{2}}\right) - 183\sqrt{5}.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 5.

Решение 7.

Решение 8.

1245

Для решения данного выражения необходимо выполнить действия по порядку, сначала упрощая выражения в каждой из скобок, затем выполнить их умножение и, наконец, вычитание.

Исходное выражение:

$\left(\frac{15 \cdot 5^{\frac{1}{2}}}{125^{-\frac{1}{3}}} - 2 \cdot 7^{\frac{1}{2}} \cdot 49^{\frac{1}{4}}\right) \left(\left(\frac{1}{81}\right)^{-\frac{1}{4}} + 45^{\frac{1}{2}}\right) - 183\sqrt{5}$

1. Упростим выражение в первой скобке: $\left(\frac{15 \cdot 5^{\frac{1}{2}}}{125^{-\frac{1}{3}}} - 2 \cdot 7^{\frac{1}{2}} \cdot 49^{\frac{1}{4}}\right)$.

а) Преобразуем первое слагаемое $\frac{15 \cdot 5^{\frac{1}{2}}}{125^{-\frac{1}{3}}}$. Для этого представим числа в виде степеней с одинаковым основанием, где возможно.

$15 = 3 \cdot 5$

$5^{\frac{1}{2}} = \sqrt{5}$

$125 = 5^3$, следовательно $125^{-\frac{1}{3}} = (5^3)^{-\frac{1}{3}} = 5^{3 \cdot (-\frac{1}{3})} = 5^{-1} = \frac{1}{5}$.

Подставляем полученные значения: $\frac{3 \cdot 5 \cdot \sqrt{5}}{\frac{1}{5}} = 3 \cdot 5 \cdot \sqrt{5} \cdot 5 = 75\sqrt{5}$.

б) Преобразуем второе слагаемое $2 \cdot 7^{\frac{1}{2}} \cdot 49^{\frac{1}{4}}$.

$7^{\frac{1}{2}} = \sqrt{7}$

$49 = 7^2$, следовательно $49^{\frac{1}{4}} = (7^2)^{\frac{1}{4}} = 7^{2 \cdot \frac{1}{4}} = 7^{\frac{1}{2}} = \sqrt{7}$.

Подставляем значения: $2 \cdot \sqrt{7} \cdot \sqrt{7} = 2 \cdot 7 = 14$.

в) Таким образом, выражение в первой скобке равно: $75\sqrt{5} - 14$.

2. Упростим выражение во второй скобке: $\left(\left(\frac{1}{81}\right)^{-\frac{1}{4}} + 45^{\frac{1}{2}}\right)$.

а) Преобразуем первое слагаемое $\left(\frac{1}{81}\right)^{-\frac{1}{4}}$.

Используя свойство степени $a^{-n} = \frac{1}{a^n}$, получаем: $\left(\frac{1}{81}\right)^{-\frac{1}{4}} = 81^{\frac{1}{4}}$.

Так как $81 = 3^4$, то $81^{\frac{1}{4}} = (3^4)^{\frac{1}{4}} = 3^{4 \cdot \frac{1}{4}} = 3^1 = 3$.

б) Преобразуем второе слагаемое $45^{\frac{1}{2}}$.

$45^{\frac{1}{2}} = \sqrt{45} = \sqrt{9 \cdot 5} = \sqrt{9} \cdot \sqrt{5} = 3\sqrt{5}$.

в) Таким образом, выражение во второй скобке равно: $3 + 3\sqrt{5}$.

3. Теперь перемножим результаты, полученные в скобках:

$(75\sqrt{5} - 14)(3 + 3\sqrt{5})$

Раскроем скобки, умножая каждый член первого многочлена на каждый член второго:

$75\sqrt{5} \cdot 3 + 75\sqrt{5} \cdot 3\sqrt{5} - 14 \cdot 3 - 14 \cdot 3\sqrt{5}$

$= 225\sqrt{5} + 225 \cdot (\sqrt{5})^2 - 42 - 42\sqrt{5}$

$= 225\sqrt{5} + 225 \cdot 5 - 42 - 42\sqrt{5}$

$= 225\sqrt{5} + 1125 - 42 - 42\sqrt{5}$

Сгруппируем и приведем подобные слагаемые:

$(225\sqrt{5} - 42\sqrt{5}) + (1125 - 42) = 183\sqrt{5} + 1083$.

4. Подставим полученный результат в исходное выражение и выполним последнее действие:

$(183\sqrt{5} + 1083) - 183\sqrt{5}$

$183\sqrt{5} - 183\sqrt{5} + 1083 = 1083$.

Ответ: 1083