Номер 1249, страница 401 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Алимов, Колягин

1249 1) $\log_3 \frac{9}{\sqrt[5]{3}} + \log_6 \sqrt[5]{36}$;

2) $16^{0.5 \log_4 10 + 1}$.

1) Вычислим значение выражения $\log_3 \frac{9}{\sqrt[5]{3}} + \log_6 \sqrt[5]{36}$.

Разложим его на два слагаемых и упростим каждое по отдельности, используя свойства логарифмов.

Первое слагаемое: $\log_3 \frac{9}{\sqrt[5]{3}}$.
Используем свойство логарифма частного $\log_a \frac{x}{y} = \log_a x - \log_a y$:
$\log_3 \frac{9}{\sqrt[5]{3}} = \log_3 9 - \log_3 \sqrt[5]{3}$
Теперь представим аргументы логарифмов в виде степеней с основанием 3. Мы знаем, что $9 = 3^2$ и $\sqrt[5]{3} = 3^{1/5}$.
$\log_3 3^2 - \log_3 3^{1/5} = 2 - \frac{1}{5} = \frac{10}{5} - \frac{1}{5} = \frac{9}{5}$.

Второе слагаемое: $\log_6 \sqrt[5]{36}$.
Представим аргумент логарифма в виде степени с основанием 6. Мы знаем, что $36 = 6^2$, следовательно $\sqrt[5]{36} = \sqrt[5]{6^2} = (6^2)^{1/5} = 6^{2/5}$.
$\log_6 6^{2/5} = \frac{2}{5}$.

Теперь сложим полученные значения:
$\frac{9}{5} + \frac{2}{5} = \frac{9+2}{5} = \frac{11}{5} = 2.2$.

Ответ: $2.2$

2) Вычислим значение выражения $16^{0.5 \log_4 10 + 1}$.

Используем свойство степеней $a^{m+n} = a^m \cdot a^n$:
$16^{0.5 \log_4 10 + 1} = 16^{0.5 \log_4 10} \cdot 16^1$.

Теперь упростим первый множитель $16^{0.5 \log_4 10}$.
Представим основание 16 как степень числа 4, так как основание логарифма равно 4: $16 = 4^2$.
$(4^2)^{0.5 \log_4 10}$.
При возведении степени в степень их показатели перемножаются: $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$.
$4^{2 \cdot 0.5 \log_4 10} = 4^{1 \cdot \log_4 10} = 4^{\log_4 10}$.

Используя основное логарифмическое тождество $a^{\log_a b} = b$, получаем:
$4^{\log_4 10} = 10$.

Теперь вернемся к исходному выражению. Мы нашли, что первый множитель равен 10, а второй равен 16.
$10 \cdot 16 = 160$.

Ответ: $160$