Номер 1252, страница 402 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Алимов, Колягин

Упражнения для итогового повторения курса алгебры и начал математического анализа. 1. Числа и алгебраические преобразования - номер 1252, страница 402.

Условие.

1252 Какое из чисел больше:

1) $\sqrt{18}$ или $4^{\log_2 3 + \log_4 \frac{5}{11}}$;

2) $\sqrt[3]{18}$ или $\left(\frac{1}{6}\right)^{\log_6 2 - \frac{1}{2} \log_{\sqrt{6}} 5}$?

Решение 1.

Решение 2.

Решение 5.

Решение 7.

Решение 8.

1) Сравним числа $\sqrt{18}$ и $4^{\log_2 3 + \log_4 \frac{5}{11}}$.

Сначала упростим второе число. Для этого преобразуем его показатель степени.

Воспользуемся свойствами степеней и логарифмов: $a^{b+c} = a^b \cdot a^c$ и $a^{\log_a x} = x$.

$4^{\log_2 3 + \log_4 \frac{5}{11}} = 4^{\log_2 3} \cdot 4^{\log_4 \frac{5}{11}}$

Упростим каждый множитель отдельно.

Второй множитель: $4^{\log_4 \frac{5}{11}} = \frac{5}{11}$ по основному логарифмическому тождеству.

Первый множитель: $4^{\log_2 3} = (2^2)^{\log_2 3} = 2^{2\log_2 3}$.

Используя свойство логарифма $k \log_a b = \log_a b^k$, получаем:

$2^{2\log_2 3} = 2^{\log_2 3^2} = 2^{\log_2 9} = 9$.

Теперь перемножим полученные значения:

$4^{\log_2 3 + \log_4 \frac{5}{11}} = 9 \cdot \frac{5}{11} = \frac{45}{11}$.

Теперь нам нужно сравнить $\sqrt{18}$ и $\frac{45}{11}$.

Так как оба числа положительны, мы можем сравнить их квадраты. Направление неравенства при этом сохранится.

$(\sqrt{18})^2 = 18$.

$\left(\frac{45}{11}\right)^2 = \frac{45^2}{11^2} = \frac{2025}{121}$.

Сравним $18$ и $\frac{2025}{121}$. Для этого приведем число $18$ к дроби со знаменателем $121$.

$18 = \frac{18 \cdot 121}{121} = \frac{2178}{121}$.

Сравниваем дроби $\frac{2178}{121}$ и $\frac{2025}{121}$.

Так как $2178 > 2025$, то $\frac{2178}{121} > \frac{2025}{121}$, а значит $18 > \left(\frac{45}{11}\right)^2$.

Следовательно, $\sqrt{18} > \frac{45}{11}$.

Ответ: $\sqrt{18}$ больше, чем $4^{\log_2 3 + \log_4 \frac{5}{11}}$.

2) Сравним числа $\sqrt[3]{18}$ и $\left(\frac{1}{6}\right)^{\log_6 2 - \frac{1}{2}\log_{\sqrt{6}} 5}$.

Упростим второе число. Преобразуем основание степени: $\frac{1}{6} = 6^{-1}$.

$\left(\frac{1}{6}\right)^{\log_6 2 - \frac{1}{2}\log_{\sqrt{6}} 5} = (6^{-1})^{\log_6 2 - \frac{1}{2}\log_{\sqrt{6}} 5} = 6^{-(\log_6 2 - \frac{1}{2}\log_{\sqrt{6}} 5)} = 6^{-\log_6 2 + \frac{1}{2}\log_{\sqrt{6}} 5}$.

Теперь упростим показатель степени. Для этого приведем все логарифмы к основанию 6.

Первое слагаемое: $-\log_6 2 = \log_6 2^{-1} = \log_6 \frac{1}{2}$.

Второе слагаемое: $\frac{1}{2}\log_{\sqrt{6}} 5$. Используем формулу $\log_{a^k} b = \frac{1}{k}\log_a b$.

Так как $\sqrt{6} = 6^{1/2}$, получаем:

$\log_{\sqrt{6}} 5 = \log_{6^{1/2}} 5 = \frac{1}{1/2}\log_6 5 = 2\log_6 5$.

Тогда второе слагаемое в показателе степени равно:

$\frac{1}{2}\log_{\sqrt{6}} 5 = \frac{1}{2} \cdot (2\log_6 5) = \log_6 5$.

Весь показатель степени теперь равен:

$\log_6 \frac{1}{2} + \log_6 5 = \log_6\left(\frac{1}{2} \cdot 5\right) = \log_6 \frac{5}{2}$.

Подставим это обратно в выражение для второго числа:

$6^{\log_6 \frac{5}{2}} = \frac{5}{2}$ по основному логарифмическому тождеству.

Теперь нам нужно сравнить $\sqrt[3]{18}$ и $\frac{5}{2}$.

Так как оба числа положительны, мы можем сравнить их кубы. Направление неравенства при этом сохранится.

$(\sqrt[3]{18})^3 = 18$.

$\left(\frac{5}{2}\right)^3 = \frac{5^3}{2^3} = \frac{125}{8}$.

Сравним $18$ и $\frac{125}{8}$.

$\frac{125}{8} = 15,625$.

Так как $18 > 15,625$, то $18 > \frac{125}{8}$.

Следовательно, $\sqrt[3]{18} > \frac{5}{2}$.

Ответ: $\sqrt[3]{18}$ больше, чем $\left(\frac{1}{6}\right)^{\log_6 2 - \frac{1}{2}\log_{\sqrt{6}} 5}$.