Номер 1258, страница 402 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Алимов, Колягин

Упражнения для итогового повторения курса алгебры и начал математического анализа. 1. Числа и алгебраические преобразования - номер 1258, страница 402.

Условие.

1258 Записать в виде обыкновенной дроби число:

1) $0,(4)$;

2) $2,(7)$;

3) $0,(21)$;

4) $1,(36)$;

5) $0,3(5)$;

6) $0,21(3)$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 5.

Решение 7.

Решение 8.

1) 0,(4)

Для преобразования чистой периодической дроби в обыкновенную, нужно в числитель записать число в периоде, а в знаменатель — столько девяток, сколько цифр в периоде. В данном случае в периоде одна цифра 4.

Пусть $x = 0,(4) = 0,444...$. Умножим это уравнение на 10: $10x = 4,444...$.

Вычтем из второго уравнения первое: $10x - x = 4,444... - 0,444...$, что дает $9x = 4$.

Отсюда находим $x$: $x = \frac{4}{9}$.

Ответ: $\frac{4}{9}$

2) 2,(7)

Данное число можно представить как сумму целой части и периодической дроби: $2,(7) = 2 + 0,(7)$.

Сначала преобразуем дробь $0,(7)$. Пусть $x = 0,(7) = 0,777...$. Умножим на 10: $10x = 7,777...$.

Вычтем $x$ из $10x$: $10x - x = 7,777... - 0,777...$, получаем $9x = 7$, откуда $x = \frac{7}{9}$.

Теперь добавим целую часть: $2 + \frac{7}{9} = \frac{2 \cdot 9}{9} + \frac{7}{9} = \frac{18 + 7}{9} = \frac{25}{9}$.

Ответ: $\frac{25}{9}$

3) 0,(21)

В периоде две цифры (21). Пусть $x = 0,(21) = 0,212121...$. Умножим уравнение на 100 (по количеству цифр в периоде): $100x = 21,212121...$.

Вычтем исходное уравнение: $100x - x = 21,212121... - 0,212121...$, что дает $99x = 21$.

Отсюда $x = \frac{21}{99}$. Дробь можно сократить на 3: $x = \frac{21 \div 3}{99 \div 3} = \frac{7}{33}$.

Ответ: $\frac{7}{33}$

4) 1,(36)

Представим число в виде суммы целой и дробной частей: $1,(36) = 1 + 0,(36)$.

Преобразуем $0,(36)$. Пусть $x = 0,(36) = 0,363636...$. В периоде две цифры, умножаем на 100: $100x = 36,363636...$.

Вычитаем: $100x - x = 36,363636... - 0,363636...$, получаем $99x = 36$, откуда $x = \frac{36}{99}$.

Сократим дробь на 9: $x = \frac{36 \div 9}{99 \div 9} = \frac{4}{11}$.

Возвращаемся к исходному числу: $1 + \frac{4}{11} = \frac{11}{11} + \frac{4}{11} = \frac{15}{11}$.

Ответ: $\frac{15}{11}$

5) 0,3(5)

Это смешанная периодическая дробь. Пусть $x = 0,3(5) = 0,3555...$.

Умножим на 10, чтобы непериодическая часть оказалась до запятой: $10x = 3,555...$.

Умножим еще раз на 10, чтобы сдвинуть один период влево: $100x = 35,555...$.

Вычтем второе уравнение из третьего: $100x - 10x = 35,555... - 3,555...$, что дает $90x = 32$.

Отсюда $x = \frac{32}{90}$. Сократим дробь на 2: $x = \frac{16}{45}$.

Ответ: $\frac{16}{45}$

6) 0,21(3)

Это смешанная периодическая дробь. Пусть $x = 0,21(3) = 0,21333...$.

Умножим на 100 (так как две цифры в непериодической части после запятой): $100x = 21,333...$.

Умножим на 1000 (чтобы сдвинуть и одну цифру из периода): $1000x = 213,333...$.

Вычтем второе уравнение из третьего: $1000x - 100x = 213,333... - 21,333...$, что дает $900x = 192$.

Отсюда $x = \frac{192}{900}$. Сократим дробь. Сначала разделим числитель и знаменатель на 3 (сумма цифр 192 равна 12, она делится на 3): $x = \frac{64}{300}$. Затем разделим на 4: $x = \frac{16}{75}$.

Ответ: $\frac{16}{75}$