Номер 1260, страница 402 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Алимов, Колягин

Упражнения для итогового повторения курса алгебры и начал математического анализа. 1. Числа и алгебраические преобразования - номер 1260, страница 402.

Условие.

1260 Может ли быть рациональным числом:

1) сумма двух положительных иррациональных чисел;

2) произведение двух иррациональных чисел;

3) частное от деления суммы двух неравных иррациональных положительных чисел на их произведение?

Решение 1.

Решение 2.

Решение 5.

Решение 7.

Решение 8.

1) сумма двух положительных иррациональных чисел;

Да, может. Чтобы доказать это, достаточно привести один пример. Рассмотрим два числа: $a = 2 - \sqrt{2}$ и $b = \sqrt{2}$.

Число $b = \sqrt{2}$ является иррациональным и положительным. Число $a = 2 - \sqrt{2}$ также является положительным (поскольку $2 > \sqrt{2}$) и иррациональным (как разность рационального и иррационального чисел).

Найдем их сумму: $a + b = (2 - \sqrt{2}) + \sqrt{2} = 2$.

Сумма равна 2, что является рациональным числом.

Ответ: Да, может.

2) произведение двух иррациональных чисел;

Да, может. Рассмотрим простой пример.

Пусть оба иррациональных числа равны $\sqrt{2}$. Их произведение: $\sqrt{2} \cdot \sqrt{2} = 2$.

Число 2 является рациональным. Таким образом, произведение двух иррациональных чисел может быть рациональным.

Другой пример с разными числами: $a = \sqrt{2}$ и $b = \sqrt{8}$. Оба числа иррациональны. Их произведение $a \cdot b = \sqrt{2} \cdot \sqrt{8} = \sqrt{16} = 4$, что является рациональным числом.

Ответ: Да, может.

3) частное от деления суммы двух неравных иррациональных положительных чисел на их произведение?

Да, может. Пусть $a$ и $b$ — два неравных иррациональных положительных числа ($a \neq b, a>0, b>0$). Рассмотрим выражение: $\frac{a+b}{ab}$.

Это выражение можно переписать как $\frac{a}{ab} + \frac{b}{ab} = \frac{1}{b} + \frac{1}{a}$.

Чтобы найти пример, можно рассмотреть корни квадратного уравнения $x^2 - sx + p = 0$ с рациональными коэффициентами $s$ и $p$. По теореме Виета, сумма корней $a+b = s$, а их произведение $a \cdot b = p$. Тогда искомое частное будет равно $\frac{s}{p}$, что является рациональным числом (при $p \neq 0$).

Нам нужно подобрать такие рациональные $s$ и $p$, чтобы корни уравнения были положительными, неравными и иррациональными. Для этого дискриминант $D=s^2-4p$ должен быть положительным и не быть квадратом рационального числа. Также для положительности корней необходимо, чтобы $s>0$ и $p>0$.

Возьмем, например, $s=4$ и $p=1$. Уравнение: $x^2 - 4x + 1 = 0$.
Дискриминант $D = (-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 1 = 16 - 4 = 12$. Так как $D > 0$ и $\sqrt{12}$ иррационально, корни будут иррациональными и неравными.
Корни уравнения: $a = \frac{4 + \sqrt{12}}{2} = 2 + \sqrt{3}$ и $b = \frac{4 - \sqrt{12}}{2} = 2 - \sqrt{3}$.

Проверим, что $a$ и $b$ удовлетворяют условиям:
1. $a = 2+\sqrt{3}$ и $b = 2-\sqrt{3}$ иррациональны и не равны друг другу.
2. Оба корня положительны: $2+\sqrt{3} > 0$ и $2-\sqrt{3} > 0$ (так как $4>3 \implies 2>\sqrt{3}$).

Теперь найдем значение искомого выражения для этих чисел:
$\frac{a+b}{ab} = \frac{(2+\sqrt{3})+(2-\sqrt{3})}{(2+\sqrt{3})(2-\sqrt{3})} = \frac{4}{4-3} = \frac{4}{1} = 4$.
Результат равен 4, что является рациональным числом.

Ответ: Да, может.