Номер 1261, страница 403 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Алимов, Колягин

Упражнения для итогового повторения курса алгебры и начал математического анализа. 1. Числа и алгебраические преобразования - номер 1261, страница 403.

Условие.

1261 Доказать, что если $a$ и $b$ — натуральные числа и $\sqrt{ab}$ — рациональное число, то $\sqrt{\frac{a}{b}}$ также рациональное число, а если $\sqrt{ab}$ — иррациональное число, то и $\sqrt{\frac{a}{b}}$ — иррациональное число.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 5.

Решение 7.

Решение 8.

Если $a$ и $b$ — натуральные числа и $\sqrt{ab}$ — рациональное число, то $\sqrt{\frac{a}{b}}$ также рациональное число

По условию, $a$ и $b$ являются натуральными числами ($a, b \in \mathbb{N}$), а число $\sqrt{ab}$ является рациональным ($\sqrt{ab} \in \mathbb{Q}$).

Рассмотрим выражение $\sqrt{\frac{a}{b}}$. Мы можем преобразовать его, умножив числитель и знаменатель подкоренного выражения на $b$ (поскольку $b$ — натуральное число, оно не равно нулю): $$ \sqrt{\frac{a}{b}} = \sqrt{\frac{a \cdot b}{b \cdot b}} = \sqrt{\frac{ab}{b^2}} $$

Используя свойство корня из частного ($\sqrt{x/y} = \sqrt{x} / \sqrt{y}$), мы получаем: $$ \frac{\sqrt{ab}}{\sqrt{b^2}} $$

Так как $b$ — натуральное число, то $\sqrt{b^2} = b$. Таким образом, наше выражение упрощается до: $$ \sqrt{\frac{a}{b}} = \frac{\sqrt{ab}}{b} $$

В полученном выражении числитель $\sqrt{ab}$ является рациональным числом по условию задачи. Знаменатель $b$ также является рациональным числом, так как любое натуральное число рационально.

Частное двух рациональных чисел, где делитель не равен нулю, всегда является рациональным числом. Следовательно, выражение $\frac{\sqrt{ab}}{b}$ является рациональным числом, а значит и $\sqrt{\frac{a}{b}}$ — рациональное число.

Ответ: Утверждение доказано.

Если $\sqrt{ab}$ — иррациональное число, то и $\sqrt{\frac{a}{b}}$ — иррациональное число

Для доказательства этого утверждения воспользуемся методом от противного.

Дано, что $a, b \in \mathbb{N}$ и $\sqrt{ab}$ — иррациональное число. Предположим, что $\sqrt{\frac{a}{b}}$ является рациональным числом. Обозначим его как $s$, где $s \in \mathbb{Q}$.

Теперь рассмотрим выражение $\sqrt{ab}$. Мы можем выразить его через $\sqrt{\frac{a}{b}}$: $$ \sqrt{ab} = \sqrt{\frac{a}{b} \cdot b^2} $$

Используя свойство корня из произведения ($\sqrt{x \cdot y} = \sqrt{x} \cdot \sqrt{y}$), получаем: $$ \sqrt{ab} = \sqrt{\frac{a}{b}} \cdot \sqrt{b^2} $$

Поскольку $b$ — натуральное число, $\sqrt{b^2} = b$. Следовательно: $$ \sqrt{ab} = \sqrt{\frac{a}{b}} \cdot b $$

По нашему предположению, $\sqrt{\frac{a}{b}} = s$ — рациональное число. Число $b$ также является рациональным, так как оно натуральное. Их произведение $s \cdot b$ должно быть рациональным числом.

Таким образом, мы приходим к выводу, что $\sqrt{ab}$ является рациональным числом. Но это прямо противоречит исходному условию задачи, в котором сказано, что $\sqrt{ab}$ — иррациональное число.

Полученное противоречие означает, что наше первоначальное предположение было неверным. Следовательно, если $\sqrt{ab}$ иррационально, то и $\sqrt{\frac{a}{b}}$ должно быть иррациональным.

Ответ: Утверждение доказано.