Номер 1257, страница 402 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Алимов, Колягин

Упражнения для итогового повторения курса алгебры и начал математического анализа. 1. Числа и алгебраические преобразования - номер 1257, страница 402.

Условие.

1257 Освободиться от иррациональности в числителе дроби:

1) $\frac{\sqrt{5}}{10};$

2) $\frac{3\sqrt{6}}{6};$

3) $\frac{\sqrt{7}-\sqrt{5}}{2}.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 5.

Решение 7.

Решение 8.

1) Чтобы освободиться от иррациональности в числителе дроби $ \frac{\sqrt{5}}{10} $, необходимо умножить числитель и знаменатель этой дроби на такое выражение, чтобы в числителе исчез знак корня. В данном случае нужно умножить на $ \sqrt{5} $. Выполним умножение: $ \frac{\sqrt{5}}{10} = \frac{\sqrt{5} \cdot \sqrt{5}}{10 \cdot \sqrt{5}} $. Так как $ \sqrt{5} \cdot \sqrt{5} = (\sqrt{5})^2 = 5 $, выражение примет вид $ \frac{5}{10\sqrt{5}} $. Теперь можно сократить полученную дробь, разделив числитель и знаменатель на их общий делитель 5. В результате получаем $ \frac{1}{2\sqrt{5}} $. Числитель дроби стал равен 1, что является рациональным числом.
Ответ: $ \frac{1}{2\sqrt{5}} $.

2) В дроби $ \frac{3\sqrt{6}}{6} $ иррациональность в числителе создается множителем $ \sqrt{6} $. Чтобы от него избавиться, умножим числитель и знаменатель дроби на $ \sqrt{6} $. Получаем: $ \frac{3\sqrt{6} \cdot \sqrt{6}}{6 \cdot \sqrt{6}} = \frac{3 \cdot (\sqrt{6})^2}{6\sqrt{6}} = \frac{3 \cdot 6}{6\sqrt{6}} = \frac{18}{6\sqrt{6}} $. Теперь сократим полученную дробь, разделив числитель и знаменатель на 6. В результате получаем $ \frac{3}{\sqrt{6}} $. Числитель стал равен рациональному числу 3.
Ответ: $ \frac{3}{\sqrt{6}} $.

3) Числитель дроби $ \frac{\sqrt{7}-\sqrt{5}}{2} $ представляет собой разность двух иррациональных чисел. Чтобы избавиться от иррациональности в таком выражении, его нужно умножить на сопряженное ему выражение, в данном случае на $ \sqrt{7}+\sqrt{5} $. При этом мы используем формулу разности квадратов: $ (a-b)(a+b) = a^2-b^2 $. Умножим числитель и знаменатель исходной дроби на $ \sqrt{7}+\sqrt{5} $: $ \frac{\sqrt{7}-\sqrt{5}}{2} = \frac{(\sqrt{7}-\sqrt{5}) \cdot (\sqrt{7}+\sqrt{5})}{2 \cdot (\sqrt{7}+\sqrt{5})} $. Преобразуем числитель: $ (\sqrt{7}-\sqrt{5}) \cdot (\sqrt{7}+\sqrt{5}) = (\sqrt{7})^2 - (\sqrt{5})^2 = 7 - 5 = 2 $. Дробь принимает вид $ \frac{2}{2(\sqrt{7}+\sqrt{5})} $. Сократив дробь на 2, получаем конечный результат $ \frac{1}{\sqrt{7}+\sqrt{5}} $. Числитель теперь равен рациональному числу 1.
Ответ: $ \frac{1}{\sqrt{7}+\sqrt{5}} $.