Номер 1250, страница 402 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Алимов, Колягин

Упражнения для итогового повторения курса алгебры и начал математического анализа. 1. Числа и алгебраические преобразования - номер 1250, страница 402.

Условие.

1250 Сравнить числа:

1) $2,5^{\frac{1}{7}}$ и $2,5^{0,5}$;

2) $0,2^{\frac{2}{3}}$ и $0,2^{\frac{3}{4}}$;

3) $\log_{3,1}\sqrt{10}$ и $\log_{3,1} 3$;

4) $\log_{0,3}\frac{4}{5}$ и $\log_{0,3}\frac{3}{4}$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 5.

Решение 7.

Решение 8.

1) Для сравнения чисел $2.5^{\frac{1}{7}}$ и $2.5^{0.5}$ используется свойство показательной функции $y = a^x$. В данном случае основание $a = 2.5$.
Поскольку основание $a = 2.5 > 1$, функция является возрастающей. Это означает, что большему значению показателя степени соответствует большее значение функции.
Теперь сравним показатели степеней: $\frac{1}{7}$ и $0.5$.
Представим $0.5$ в виде обыкновенной дроби: $0.5 = \frac{1}{2}$.
Сравним дроби $\frac{1}{7}$ и $\frac{1}{2}$. Приведем их к общему знаменателю $14$:
$\frac{1}{7} = \frac{2}{14}$
$\frac{1}{2} = \frac{7}{14}$
Так как $2 < 7$, то $\frac{2}{14} < \frac{7}{14}$, следовательно, $\frac{1}{7} < 0.5$.
Поскольку функция $y=2.5^x$ возрастающая, из неравенства показателей $\frac{1}{7} < 0.5$ следует соответствующее неравенство для значений функции: $2.5^{\frac{1}{7}} < 2.5^{0.5}$.
Ответ: $2.5^{\frac{1}{7}} < 2.5^{0.5}$.

2) Для сравнения чисел $0.2^{\frac{2}{3}}$ и $0.2^{\frac{3}{4}}$ используется свойство показательной функции $y = a^x$. В данном случае основание $a = 0.2$.
Поскольку основание $0 < a < 1$, функция является убывающей. Это означает, что большему значению показателя степени соответствует меньшее значение функции.
Теперь сравним показатели степеней: $\frac{2}{3}$ и $\frac{3}{4}$.
Приведем дроби к общему знаменателю $12$:
$\frac{2}{3} = \frac{2 \cdot 4}{3 \cdot 4} = \frac{8}{12}$
$\frac{3}{4} = \frac{3 \cdot 3}{4 \cdot 3} = \frac{9}{12}$
Так как $8 < 9$, то $\frac{8}{12} < \frac{9}{12}$, следовательно, $\frac{2}{3} < \frac{3}{4}$.
Поскольку функция $y=0.2^x$ убывающая, из неравенства показателей $\frac{2}{3} < \frac{3}{4}$ следует противоположное по знаку неравенство для значений функции: $0.2^{\frac{2}{3}} > 0.2^{\frac{3}{4}}$.
Ответ: $0.2^{\frac{2}{3}} > 0.2^{\frac{3}{4}}$.

3) Для сравнения чисел $\log_{3.1} \sqrt{10}$ и $\log_{3.1} 3$ используется свойство логарифмической функции $y = \log_a x$. В данном случае основание $a = 3.1$.
Поскольку основание $a = 3.1 > 1$, функция является возрастающей. Это означает, что большему значению аргумента (числа под знаком логарифма) соответствует большее значение функции.
Сравним аргументы: $\sqrt{10}$ и $3$.
Так как оба числа положительны, мы можем сравнить их квадраты:
$(\sqrt{10})^2 = 10$
$3^2 = 9$
Так как $10 > 9$, то $\sqrt{10} > 3$.
Поскольку функция $y = \log_{3.1} x$ возрастающая, из неравенства аргументов $\sqrt{10} > 3$ следует такое же неравенство для значений функции: $\log_{3.1} \sqrt{10} > \log_{3.1} 3$.
Ответ: $\log_{3.1} \sqrt{10} > \log_{3.1} 3$.

4) Для сравнения чисел $\log_{0.3} \frac{4}{5}$ и $\log_{0.3} \frac{3}{4}$ используется свойство логарифмической функции $y = \log_a x$. В данном случае основание $a = 0.3$.
Поскольку основание $0 < a < 1$, функция является убывающей. Это означает, что большему значению аргумента соответствует меньшее значение функции.
Сравним аргументы: $\frac{4}{5}$ и $\frac{3}{4}$.
Приведем дроби к общему знаменателю $20$:
$\frac{4}{5} = \frac{4 \cdot 4}{5 \cdot 4} = \frac{16}{20}$
$\frac{3}{4} = \frac{3 \cdot 5}{4 \cdot 5} = \frac{15}{20}$
Так как $16 > 15$, то $\frac{16}{20} > \frac{15}{20}$, следовательно, $\frac{4}{5} > \frac{3}{4}$.
Поскольку функция $y = \log_{0.3} x$ убывающая, из неравенства аргументов $\frac{4}{5} > \frac{3}{4}$ следует противоположное по знаку неравенство для значений функции: $\log_{0.3} \frac{4}{5} < \log_{0.3} \frac{3}{4}$.
Ответ: $\log_{0.3} \frac{4}{5} < \log_{0.3} \frac{3}{4}$.