Номер 1248, страница 401 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Алимов, Колягин

Упражнения для итогового повторения курса алгебры и начал математического анализа. 1. Числа и алгебраические преобразования - номер 1248, страница 401.

Условие.

1248 1) $(\frac{1}{2^{\sqrt{2}}})^{\sqrt{8}};

2) $(2^{\sqrt{27}})^{\sqrt{3}} \cdot 2^{-3}.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 5.

Решение 7.

Решение 8.

1) Для решения этого примера воспользуемся свойством степени $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$. Это означает, что при возведении степени в степень показатели перемножаются.
Применим это правило к выражению $(2^{\frac{1}{\sqrt{2}}})^{\sqrt{8}}$:
$(2^{\frac{1}{\sqrt{2}}})^{\sqrt{8}} = 2^{\frac{1}{\sqrt{2}} \cdot \sqrt{8}} = 2^{\frac{\sqrt{8}}{\sqrt{2}}}$
Теперь упростим показатель степени, используя свойство частного корней $\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}} = \sqrt{\frac{a}{b}}$:
$\frac{\sqrt{8}}{\sqrt{2}} = \sqrt{\frac{8}{2}} = \sqrt{4} = 2$
Подставим полученное значение обратно в выражение:
$2^2 = 4$
Ответ: $4$

2) Данное выражение состоит из двух множителей: $(2^{\sqrt{27}})^{\sqrt{3}}$ и $2^{-3}$.
Сначала упростим первый множитель, используя то же свойство степени $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$:
$(2^{\sqrt{27}})^{\sqrt{3}} = 2^{\sqrt{27} \cdot \sqrt{3}}$
Упростим показатель степени, используя свойство произведения корней $\sqrt{a} \cdot \sqrt{b} = \sqrt{a \cdot b}$:
$\sqrt{27} \cdot \sqrt{3} = \sqrt{27 \cdot 3} = \sqrt{81} = 9$
Таким образом, первый множитель равен $2^9$.
Теперь исходное выражение можно записать как:
$2^9 \cdot 2^{-3}$
При умножении степеней с одинаковым основанием их показатели складываются, согласно свойству $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$:
$2^9 \cdot 2^{-3} = 2^{9 + (-3)} = 2^{9-3} = 2^6$
Вычислим окончательное значение:
$2^6 = 64$
Ответ: $64$