Номер 1247, страница 401 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Алимов, Колягин

Упражнения для итогового повторения курса алгебры и начал математического анализа. 1. Числа и алгебраические преобразования - номер 1247, страница 401.

Условие.

1247 1) $\log_{\frac{1}{16}} \sqrt[5]{64};$

2) $\log_8 \log_4 \log_2 16.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 5.

Решение 7.

Решение 8.

1) Чтобы вычислить значение выражения $\log_{\frac{1}{16}} \sqrt[5]{64}$, преобразуем основание и аргумент логарифма так, чтобы они были представлены в виде степеней одного и того же числа. В данном случае удобно использовать в качестве общего основания число 2.

Представим основание логарифма $\frac{1}{16}$ в виде степени 2:
$\frac{1}{16} = 16^{-1} = (2^4)^{-1} = 2^{-4}$.

Представим аргумент логарифма $\sqrt[5]{64}$ в виде степени 2:
$\sqrt[5]{64} = 64^{\frac{1}{5}} = (2^6)^{\frac{1}{5}} = 2^{\frac{6}{5}}$.

Теперь подставим полученные выражения в исходный логарифм:
$\log_{\frac{1}{16}} \sqrt[5]{64} = \log_{2^{-4}} 2^{\frac{6}{5}}$.

Воспользуемся свойством логарифма $\log_{a^k} b^m = \frac{m}{k} \log_a b$:

$\log_{2^{-4}} 2^{\frac{6}{5}} = \frac{\frac{6}{5}}{-4} \log_2 2$.

Поскольку $\log_2 2 = 1$, получаем:

$\frac{\frac{6}{5}}{-4} \cdot 1 = \frac{6}{5 \cdot (-4)} = \frac{6}{-20} = -\frac{3}{10}$.

Ответ: $-\frac{3}{10}$.

2) Чтобы вычислить значение выражения $\log_8 \log_4 \log_2 16$, будем вычислять логарифмы последовательно, начиная с самого внутреннего.

Шаг 1: Вычислим внутренний логарифм $\log_2 16$.
Нужно найти степень, в которую нужно возвести 2, чтобы получить 16. Так как $16 = 2^4$, то $\log_2 16 = 4$.

Шаг 2: Подставим результат в исходное выражение.
Выражение принимает вид: $\log_8 \log_4 (4)$.

Шаг 3: Вычислим следующий логарифм $\log_4 4$.
Логарифм числа по основанию, равному этому числу, равен 1. То есть, $\log_a a = 1$.
Следовательно, $\log_4 4 = 1$.

Шаг 4: Подставим полученное значение.
Выражение принимает вид: $\log_8 (1)$.

Шаг 5: Вычислим оставшийся логарифм $\log_8 1$.
Логарифм единицы по любому допустимому основанию равен нулю, так как любое число (кроме нуля) в степени 0 равно 1. ($8^0=1$).
Следовательно, $\log_8 1 = 0$.

Ответ: $0$.