Номер 1246, страница 401 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Алимов, Колягин

Упражнения для итогового повторения курса алгебры и начал математического анализа. 1. Числа и алгебраические преобразования - номер 1246, страница 401.

Условие.

1246 1) $\log_{27} 729$;

2) $\log_9 729$;

3) $\log_{\frac{1}{3}} 729$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 5.

Решение 7.

Решение 8.

1) Чтобы вычислить $\log_{27} 729$, необходимо найти степень, в которую нужно возвести основание 27, чтобы получить число 729.
Обозначим искомый логарифм за $x$: $\log_{27} 729 = x$.
По определению логарифма это эквивалентно уравнению: $27^x = 729$.
Для решения этого уравнения представим числа 27 и 729 в виде степеней одного и того же основания, например, 3.
Мы знаем, что $27 = 3^3$ и $729 = 3^6$.
Подставим эти значения в наше уравнение:
$(3^3)^x = 3^6$
Используя свойство степеней $(a^m)^n = a^{mn}$, получаем:
$3^{3x} = 3^6$
Так как основания степеней равны, мы можем приравнять их показатели:
$3x = 6$
$x = \frac{6}{3} = 2$
Таким образом, $\log_{27} 729 = 2$.
Альтернативный способ:
Используя свойство логарифма $\log_{a^k} b^m = \frac{m}{k}\log_a b$:
$\log_{27} 729 = \log_{3^3} 3^6 = \frac{6}{3}\log_3 3 = 2 \cdot 1 = 2$.
Ответ: 2

2) Чтобы вычислить $\log_9 729$, необходимо найти степень, в которую нужно возвести основание 9, чтобы получить число 729.
Пусть $\log_9 729 = x$. Тогда по определению логарифма: $9^x = 729$.
Представим 9 и 729 как степени числа 3:
$9 = 3^2$
$729 = 3^6$
Подставим в уравнение:
$(3^2)^x = 3^6$
$3^{2x} = 3^6$
Приравниваем показатели степеней:
$2x = 6$
$x = \frac{6}{2} = 3$
Следовательно, $\log_9 729 = 3$.
Альтернативный способ:
$\log_9 729 = \log_{3^2} 3^6 = \frac{6}{2}\log_3 3 = 3 \cdot 1 = 3$.
Ответ: 3

3) Чтобы вычислить $\log_{\frac{1}{3}} 729$, необходимо найти степень, в которую нужно возвести основание $\frac{1}{3}$, чтобы получить число 729.
Пусть $\log_{\frac{1}{3}} 729 = x$. Тогда по определению логарифма: $(\frac{1}{3})^x = 729$.
Представим обе части уравнения как степени числа 3.
$\frac{1}{3} = 3^{-1}$
$729 = 3^6$
Подставим эти значения в уравнение:
$(3^{-1})^x = 3^6$
$3^{-x} = 3^6$
Приравниваем показатели степеней:
$-x = 6$
$x = -6$
Значит, $\log_{\frac{1}{3}} 729 = -6$.
Альтернативный способ:
$\log_{\frac{1}{3}} 729 = \log_{3^{-1}} 3^6 = \frac{6}{-1}\log_3 3 = -6 \cdot 1 = -6$.
Ответ: -6