Номер 1256, страница 402 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Алимов, Колягин

Упражнения для итогового повторения курса алгебры и начал математического анализа. 1. Числа и алгебраические преобразования - номер 1256, страница 402.

Условие.

1256 Освободиться от иррациональности в знаменателе дроби:

1) $\frac{5}{\sqrt{3}-\sqrt{2}}$;

2) $\frac{3}{\sqrt{6}+\sqrt{5}}$;

3) $\frac{12}{\sqrt{10}-\sqrt{7}}$;

4) $\frac{8}{\sqrt{11}+\sqrt{3}}$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 5.

Решение 7.

Решение 8.

Чтобы освободиться от иррациональности в знаменателе дроби, нужно умножить числитель и знаменатель на выражение, сопряженное знаменателю. Сопряженным для выражения вида $(\sqrt{a} - \sqrt{b})$ является $(\sqrt{a} + \sqrt{b})$, а для $(\sqrt{a} + \sqrt{b})$ — $(\sqrt{a} - \sqrt{b})$. При умножении сопряженных выражений используется формула разности квадратов $(x - y)(x + y) = x^2 - y^2$, что приводит к исчезновению корней в знаменателе: $(\sqrt{a} - \sqrt{b})(\sqrt{a} + \sqrt{b}) = (\sqrt{a})^2 - (\sqrt{b})^2 = a - b$.

1)

Для дроби $\frac{5}{\sqrt{3} - \sqrt{2}}$ умножим числитель и знаменатель на сопряженное к знаменателю выражение $(\sqrt{3} + \sqrt{2})$:

$\frac{5}{\sqrt{3} - \sqrt{2}} = \frac{5 \cdot (\sqrt{3} + \sqrt{2})}{(\sqrt{3} - \sqrt{2}) \cdot (\sqrt{3} + \sqrt{2})} = \frac{5(\sqrt{3} + \sqrt{2})}{(\sqrt{3})^2 - (\sqrt{2})^2} = \frac{5(\sqrt{3} + \sqrt{2})}{3 - 2} = \frac{5(\sqrt{3} + \sqrt{2})}{1} = 5(\sqrt{3} + \sqrt{2})$.

Ответ: $5(\sqrt{3} + \sqrt{2})$.

2)

Для дроби $\frac{3}{\sqrt{6} + \sqrt{5}}$ умножим числитель и знаменатель на сопряженное к знаменателю выражение $(\sqrt{6} - \sqrt{5})$:

$\frac{3}{\sqrt{6} + \sqrt{5}} = \frac{3 \cdot (\sqrt{6} - \sqrt{5})}{(\sqrt{6} + \sqrt{5}) \cdot (\sqrt{6} - \sqrt{5})} = \frac{3(\sqrt{6} - \sqrt{5})}{(\sqrt{6})^2 - (\sqrt{5})^2} = \frac{3(\sqrt{6} - \sqrt{5})}{6 - 5} = \frac{3(\sqrt{6} - \sqrt{5})}{1} = 3(\sqrt{6} - \sqrt{5})$.

Ответ: $3(\sqrt{6} - \sqrt{5})$.

3)

Для дроби $\frac{12}{\sqrt{10} - \sqrt{7}}$ умножим числитель и знаменатель на сопряженное к знаменателю выражение $(\sqrt{10} + \sqrt{7})$:

$\frac{12}{\sqrt{10} - \sqrt{7}} = \frac{12 \cdot (\sqrt{10} + \sqrt{7})}{(\sqrt{10} - \sqrt{7}) \cdot (\sqrt{10} + \sqrt{7})} = \frac{12(\sqrt{10} + \sqrt{7})}{(\sqrt{10})^2 - (\sqrt{7})^2} = \frac{12(\sqrt{10} + \sqrt{7})}{10 - 7} = \frac{12(\sqrt{10} + \sqrt{7})}{3}$.

Теперь сократим дробь на 3:

$\frac{12(\sqrt{10} + \sqrt{7})}{3} = 4(\sqrt{10} + \sqrt{7})$.

Ответ: $4(\sqrt{10} + \sqrt{7})$.

4)

Для дроби $\frac{8}{\sqrt{11} + \sqrt{3}}$ умножим числитель и знаменатель на сопряженное к знаменателю выражение $(\sqrt{11} - \sqrt{3})$:

$\frac{8}{\sqrt{11} + \sqrt{3}} = \frac{8 \cdot (\sqrt{11} - \sqrt{3})}{(\sqrt{11} + \sqrt{3}) \cdot (\sqrt{11} - \sqrt{3})} = \frac{8(\sqrt{11} - \sqrt{3})}{(\sqrt{11})^2 - (\sqrt{3})^2} = \frac{8(\sqrt{11} - \sqrt{3})}{11 - 3} = \frac{8(\sqrt{11} - \sqrt{3})}{8}$.

Теперь сократим дробь на 8:

$\frac{8(\sqrt{11} - \sqrt{3})}{8} = \sqrt{11} - \sqrt{3}$.

Ответ: $\sqrt{11} - \sqrt{3}$.