Номер 1267, страница 403 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Алимов, Колягин

Упражнения для итогового повторения курса алгебры и начал математического анализа. 1. Числа и алгебраические преобразования - номер 1267, страница 403.

Условие.

1267 Вычислить длину моста по данным, указанным на рисун-ке 189.

$68^\circ$

$46^\circ$

$130 \text{ м}$

Рис. 189

Решение 1.

Решение 2.

Решение 5.

Решение 7.

Решение 8.

Для решения задачи представим ситуацию в виде геометрической схемы. Пусть концы моста — это точки A и B, а точка наблюдения под мостом — точка C. Длина моста, которую нам нужно найти, — это длина отрезка AB.

Из точки C опущен перпендикуляр CD на прямую AB. По условию, длина этого перпендикуляра составляет 130 м. Таким образом, у нас образуются два прямоугольных треугольника: ΔADC и ΔBDC, где углы ∠ADC и ∠BDC — прямые.

Длина моста AB равна сумме длин отрезков AD и DB: $AB = AD + DB$.

Найдем длины этих отрезков пошагово.

Нахождение длины отрезка AD

Рассмотрим прямоугольный треугольник ΔADC. В нем нам известны длина катета $CD = 130$ м и величина угла $\angle ACD = 68^\circ$. Катет AD является противолежащим углу $\angle ACD$, а катет CD — прилежащим. Соотношение между ними выражается через тангенс угла:

$\tan(\angle ACD) = \frac{AD}{CD}$

Отсюда выражаем AD:

$AD = CD \cdot \tan(\angle ACD) = 130 \cdot \tan(68^\circ)$

Нахождение длины отрезка DB

Рассмотрим прямоугольный треугольник ΔBDC. В нем нам известны длина катета $CD = 130$ м и величина угла $\angle BCD = 46^\circ$. Аналогично, катет DB является противолежащим углу $\angle BCD$, а катет CD — прилежащим. Используем тангенс:

$\tan(\angle BCD) = \frac{DB}{CD}$

Отсюда выражаем DB:

$DB = CD \cdot \tan(\angle BCD) = 130 \cdot \tan(46^\circ)$

Вычисление общей длины моста AB

Сложим длины отрезков AD и DB:

$AB = AD + DB = 130 \cdot \tan(68^\circ) + 130 \cdot \tan(46^\circ)$

Вынесем общий множитель за скобку для удобства вычислений:

$AB = 130 \cdot (\tan(68^\circ) + \tan(46^\circ))$

Используя калькулятор, найдем значения тангенсов (с точностью до четырех знаков после запятой): $\tan(68^\circ) \approx 2.4751$ и $\tan(46^\circ) \approx 1.0355$.

Подставим эти значения в формулу:

$AB \approx 130 \cdot (2.4751 + 1.0355) = 130 \cdot 3.5106 = 456.378$ м.

Округлив полученный результат до десятых, получим 456,4 м.

Ответ: Длина моста составляет приблизительно 456,4 м.