Номер 1269, страница 404 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Алимов, Колягин

Упражнения для итогового повторения курса алгебры и начал математического анализа. 1. Числа и алгебраические преобразования - номер 1269, страница 404.

Условие.

1269 Вычислить $ \cos 2\alpha $, если $ \sin \alpha = \frac{1}{3} $.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 5.

Решение 7.

Решение 8.

Для решения этой задачи необходимо использовать формулу косинуса двойного угла. Существует несколько вариантов этой формулы, но поскольку нам известно значение $sin(\alpha)$, удобнее всего использовать следующую:

$cos(2\alpha) = 1 - 2sin^2(\alpha)$

Согласно условию, $sin(\alpha) = \frac{1}{3}$. Подставим это значение в формулу:

$cos(2\alpha) = 1 - 2 \cdot \left(\frac{1}{3}\right)^2$

Сначала возведем в квадрат значение синуса:

$\left(\frac{1}{3}\right)^2 = \frac{1^2}{3^2} = \frac{1}{9}$

Теперь подставим результат обратно в наше выражение:

$cos(2\alpha) = 1 - 2 \cdot \frac{1}{9}$

$cos(2\alpha) = 1 - \frac{2}{9}$

Чтобы вычесть дробь из единицы, представим единицу как дробь со знаменателем 9:

$cos(2\alpha) = \frac{9}{9} - \frac{2}{9}$

Выполняем вычитание:

$cos(2\alpha) = \frac{9 - 2}{9} = \frac{7}{9}$

Ответ: $\frac{7}{9}$