Номер 1273, страница 404 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Алимов, Колягин

Упражнения для итогового повторения курса алгебры и начал математического анализа. 1. Числа и алгебраические преобразования - номер 1273, страница 404.

Условие.

1273 1) $\log_4 \sin \frac{\pi}{4};$

2) $\log_{10} \text{tg} \frac{\pi}{4};$

3) $\log_8 \sin \frac{3\pi}{4};$

4) $\log_2 \cos \frac{\pi}{3};$

5) $\log_3 1 - \log_4 \text{tg} \frac{\pi}{4} \cdot \log_5 \cos 0.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 5.

Решение 7.

Решение 8.

1) Найдем значение выражения $\log_4 \sin\frac{\pi}{4}$.
Сначала вычислим значение синуса:
$\sin\frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2}$.
Теперь подставим это значение в логарифм:
$\log_4 \frac{\sqrt{2}}{2}$.
Для вычисления логарифма приведем основание и аргумент к одной базе, например, 2.
Основание: $4 = 2^2$.
Аргумент: $\frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{2^{\frac{1}{2}}}{2^1} = 2^{\frac{1}{2}-1} = 2^{-\frac{1}{2}}$.
Получаем:
$\log_4 \frac{\sqrt{2}}{2} = \log_{2^2} 2^{-\frac{1}{2}}$.
Используем свойство логарифма $\log_{a^k} b^m = \frac{m}{k} \log_a b$:
$\log_{2^2} 2^{-\frac{1}{2}} = \frac{-1/2}{2} \log_2 2 = -\frac{1}{4} \cdot 1 = -\frac{1}{4}$.
Ответ: $-\frac{1}{4}$.

2) Найдем значение выражения $\log_{10} \operatorname{tg}\frac{\pi}{4}$.
Сначала вычислим значение тангенса:
$\operatorname{tg}\frac{\pi}{4} = 1$.
Теперь подставим это значение в логарифм:
$\log_{10} 1$.
Логарифм единицы по любому допустимому основанию равен нулю, так как $10^0 = 1$.
$\log_{10} 1 = 0$.
Ответ: $0$.

3) Найдем значение выражения $\log_8 \sin\frac{3\pi}{4}$.
Сначала вычислим значение синуса. Угол $\frac{3\pi}{4}$ находится во второй четверти, где синус положителен.
$\sin\frac{3\pi}{4} = \sin(\pi - \frac{\pi}{4}) = \sin\frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2}$.
Теперь подставим это значение в логарифм:
$\log_8 \frac{\sqrt{2}}{2}$.
Приведем основание и аргумент к базе 2.
Основание: $8 = 2^3$.
Аргумент: $\frac{\sqrt{2}}{2} = 2^{-\frac{1}{2}}$.
Получаем:
$\log_8 \frac{\sqrt{2}}{2} = \log_{2^3} 2^{-\frac{1}{2}}$.
Используем свойство логарифма $\log_{a^k} b^m = \frac{m}{k} \log_a b$:
$\log_{2^3} 2^{-\frac{1}{2}} = \frac{-1/2}{3} \log_2 2 = -\frac{1}{6} \cdot 1 = -\frac{1}{6}$.
Ответ: $-\frac{1}{6}$.

4) Найдем значение выражения $\log_2 \cos\frac{\pi}{3}$.
Сначала вычислим значение косинуса:
$\cos\frac{\pi}{3} = \frac{1}{2}$.
Теперь подставим это значение в логарифм:
$\log_2 \frac{1}{2}$.
Представим аргумент в виде степени с основанием 2:
$\frac{1}{2} = 2^{-1}$.
$\log_2 2^{-1} = -1 \cdot \log_2 2 = -1 \cdot 1 = -1$.
Ответ: $-1$.

5) Найдем значение выражения $\log_3 1 - \log_4 \operatorname{tg}\frac{\pi}{4} \cdot \log_5 \cos 0$.
Вычислим значение каждого члена выражения по отдельности.
Первый член: $\log_3 1 = 0$, так как логарифм единицы по любому основанию равен нулю.
Второй член: $\log_4 \operatorname{tg}\frac{\pi}{4}$. Поскольку $\operatorname{tg}\frac{\pi}{4} = 1$, то $\log_4 1 = 0$.
Третий член: $\log_5 \cos 0$. Поскольку $\cos 0 = 1$, то $\log_5 1 = 0$.
Теперь подставим вычисленные значения в исходное выражение:
$0 - 0 \cdot 0$.
Согласно порядку действий, сначала выполняем умножение:
$0 - 0 = 0$.
Ответ: $0$.