Номер 1277, страница 404 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Алимов, Колягин

Упражнения для итогового повторения курса алгебры и начал математического анализа. 1. Числа и алгебраические преобразования - номер 1277, страница 404.

Условие.

Упростить выражение (1277–1279).

1277 1) $ \frac{a+2}{a-2} \cdot \left( \frac{2a^2-a-3}{a^2+5a+6} : \frac{2a-3}{a-2} \right) $

2) $ \left( 2 + \frac{1}{b} \right) : \frac{8b^2+8b+2}{b^2-4b} \cdot \frac{2b+1}{b} $

Решение 1.

Решение 2.

Решение 5.

Решение 7.

Решение 8.

1)

Упростим выражение по действиям. Сначала выполним деление в скобках, заменив его на умножение на обратную дробь.

$ \frac{2a^2 - a - 3}{a^2 + 5a + 6} : \frac{2a-3}{a-2} = \frac{2a^2 - a - 3}{a^2 + 5a + 6} \cdot \frac{a-2}{2a-3} $

Разложим на множители квадратные трехчлены в числителе и знаменателе первой дроби.

Для числителя $2a^2 - a - 3$ найдем корни уравнения $2a^2 - a - 3 = 0$.

Дискриминант $D = (-1)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-3) = 1 + 24 = 25 = 5^2$.

Корни уравнения: $a_1 = \frac{1 - 5}{4} = -1$, $a_2 = \frac{1 + 5}{4} = \frac{6}{4} = \frac{3}{2}$.

Следовательно, $2a^2 - a - 3 = 2(a - (-1))(a - \frac{3}{2}) = 2(a+1)(\frac{2a-3}{2}) = (a+1)(2a-3)$.

Для знаменателя $a^2 + 5a + 6$ найдем корни уравнения $a^2 + 5a + 6 = 0$. По теореме Виета, сумма корней равна -5, а произведение 6. Корни: $a_1 = -2$, $a_2 = -3$.

Следовательно, $a^2 + 5a + 6 = (a+2)(a+3)$.

Подставим разложенные многочлены в выражение в скобках:

$ \frac{(a+1)(2a-3)}{(a+2)(a+3)} \cdot \frac{a-2}{2a-3} $

Сократим общий множитель $(2a-3)$:

$ \frac{(a+1)(a-2)}{(a+2)(a+3)} $

Теперь умножим полученный результат на дробь перед скобками:

$ \frac{a+2}{a-2} \cdot \frac{(a+1)(a-2)}{(a+2)(a+3)} $

Сократим общие множители $(a+2)$ и $(a-2)$:

$ \frac{\cancel{a+2}}{\cancel{a-2}} \cdot \frac{(a+1)(\cancel{a-2})}{(\cancel{a+2})(a+3)} = \frac{a+1}{a+3} $

Ответ: $ \frac{a+1}{a+3} $

2)

Упростим выражение по действиям, выполняя их слева направо.

Сначала преобразуем выражение в первых скобках, приведя к общему знаменателю:

$ 2 + \frac{1}{b} = \frac{2b}{b} + \frac{1}{b} = \frac{2b+1}{b} $

Исходное выражение примет вид:

$ \frac{2b+1}{b} : \frac{8b^2 + 8b + 2}{b^2 - 4b} \cdot \frac{2b+1}{b} $

Выполним деление, заменив его на умножение на обратную дробь:

$ \frac{2b+1}{b} \cdot \frac{b^2 - 4b}{8b^2 + 8b + 2} $

Разложим числитель и знаменатель второй дроби на множители:

$ b^2 - 4b = b(b-4) $

$ 8b^2 + 8b + 2 = 2(4b^2 + 4b + 1) = 2(2b+1)^2 $ (по формуле квадрата суммы $ (x+y)^2 = x^2+2xy+y^2 $).

Подставим разложенные многочлены в выражение:

$ \frac{2b+1}{b} \cdot \frac{b(b-4)}{2(2b+1)^2} $

Сократим общие множители $b$ и $(2b+1)$:

$ \frac{\cancel{2b+1}}{\cancel{b}} \cdot \frac{\cancel{b}(b-4)}{2(2b+1)^{\cancel{2}}} = \frac{b-4}{2(2b+1)} $

Теперь выполним последнее действие - умножение на дробь $ \frac{2b+1}{b} $:

$ \frac{b-4}{2(2b+1)} \cdot \frac{2b+1}{b} $

Сократим общий множитель $(2b+1)$:

$ \frac{b-4}{2\cancel{(2b+1)}} \cdot \frac{\cancel{2b+1}}{b} = \frac{b-4}{2b} $

Ответ: $ \frac{b-4}{2b} $