Номер 1281, страница 405 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Алимов, Колягин

Упражнения для итогового повторения курса алгебры и начал математического анализа. 1. Числа и алгебраические преобразования - номер 1281, страница 405.

Условие.

Упростить выражение (1281—1288).

1281 1) $\frac{\frac{1}{x^2}}{1 + \frac{1}{x^2}} \cdot \left( \frac{\frac{1}{x^2}}{1 - x^2} - \frac{1}{x^2 - x} \right);$

2) $\frac{m + 2m^{\frac{1}{2}} + 1}{2m^{\frac{1}{2}}} \cdot \left( \frac{2m^{\frac{1}{2}}}{m^{\frac{1}{2}} - 1} - \frac{4m^{\frac{1}{2}}}{m - 1} \right).$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 5.

Решение 7.

Решение 8.

1)

Исходное выражение: $ \frac{x^{\frac{1}{2}}}{1 + x^{\frac{1}{2}}} \cdot \left( \frac{x^{\frac{1}{2}}}{1 - x^{\frac{1}{2}}} - \frac{1}{x^{\frac{1}{2}} - x} \right) $.

Область допустимых значений (ОДЗ) для данного выражения: $ x > 0 $ и $ x \neq 1 $.

Сначала упростим выражение в скобках. Для этого приведем дроби к общему знаменателю. Заметим, что знаменатель второй дроби можно разложить на множители: $ x^{\frac{1}{2}} - x = x^{\frac{1}{2}}(1 - x^{\frac{1}{2}}) $.

Тогда выражение в скобках принимает вид:

$ \frac{x^{\frac{1}{2}}}{1 - x^{\frac{1}{2}}} - \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}(1 - x^{\frac{1}{2}})} $

Общий знаменатель равен $ x^{\frac{1}{2}}(1 - x^{\frac{1}{2}}) $. Приводим к нему дроби:

$ \frac{x^{\frac{1}{2}} \cdot x^{\frac{1}{2}} - 1}{x^{\frac{1}{2}}(1 - x^{\frac{1}{2}})} = \frac{x - 1}{x^{\frac{1}{2}}(1 - x^{\frac{1}{2}})} $

Разложим числитель $ x - 1 $ по формуле разности квадратов: $ x - 1 = (x^{\frac{1}{2}})^2 - 1^2 = (x^{\frac{1}{2}} - 1)(x^{\frac{1}{2}} + 1) $. Учтем, что $ x^{\frac{1}{2}} - 1 = -(1 - x^{\frac{1}{2}}) $.

$ \frac{-(1 - x^{\frac{1}{2}})(x^{\frac{1}{2}} + 1)}{x^{\frac{1}{2}}(1 - x^{\frac{1}{2}})} $

Сокращаем дробь на общий множитель $ (1 - x^{\frac{1}{2}}) $:

$ -\frac{x^{\frac{1}{2}} + 1}{x^{\frac{1}{2}}} $

Теперь умножим полученный результат на первый множитель исходного выражения:

$ \frac{x^{\frac{1}{2}}}{1 + x^{\frac{1}{2}}} \cdot \left( -\frac{x^{\frac{1}{2}} + 1}{x^{\frac{1}{2}}} \right) = \frac{x^{\frac{1}{2}}}{x^{\frac{1}{2}} + 1} \cdot \frac{-(x^{\frac{1}{2}} + 1)}{x^{\frac{1}{2}}} $

Сокращаем одинаковые множители $ x^{\frac{1}{2}} $ и $ (x^{\frac{1}{2}} + 1) $ в числителе и знаменателе. В результате получаем:

$ -1 $

Ответ: $ -1 $

2)

Исходное выражение: $ \frac{m + 2m^{\frac{1}{2}} + 1}{2m^{\frac{1}{2}}} \cdot \left( \frac{2m^{\frac{1}{2}}}{m^{\frac{1}{2}} - 1} - \frac{4m^{\frac{1}{2}}}{m - 1} \right) $.

Область допустимых значений (ОДЗ): $ m > 0 $ и $ m \neq 1 $.

Рассмотрим и упростим каждый множитель по отдельности.

Первый множитель: $ \frac{m + 2m^{\frac{1}{2}} + 1}{2m^{\frac{1}{2}}} $. Числитель является полным квадратом суммы: $ m + 2m^{\frac{1}{2}} + 1 = (m^{\frac{1}{2}} + 1)^2 $.

Таким образом, первый множитель равен $ \frac{(m^{\frac{1}{2}} + 1)^2}{2m^{\frac{1}{2}}} $.

Второй множитель (выражение в скобках): $ \frac{2m^{\frac{1}{2}}}{m^{\frac{1}{2}} - 1} - \frac{4m^{\frac{1}{2}}}{m - 1} $. Знаменатель второй дроби $ m - 1 $ можно разложить как разность квадратов: $ m - 1 = (m^{\frac{1}{2}} - 1)(m^{\frac{1}{2}} + 1) $.

Приведем дроби к общему знаменателю $ (m^{\frac{1}{2}} - 1)(m^{\frac{1}{2}} + 1) $:

$ \frac{2m^{\frac{1}{2}}(m^{\frac{1}{2}} + 1) - 4m^{\frac{1}{2}}}{(m^{\frac{1}{2}} - 1)(m^{\frac{1}{2}} + 1)} = \frac{2m + 2m^{\frac{1}{2}} - 4m^{\frac{1}{2}}}{m-1} = \frac{2m - 2m^{\frac{1}{2}}}{m-1} $

Вынесем в числителе общий множитель $ 2m^{\frac{1}{2}} $:

$ \frac{2m^{\frac{1}{2}}(m^{\frac{1}{2}} - 1)}{m - 1} = \frac{2m^{\frac{1}{2}}(m^{\frac{1}{2}} - 1)}{(m^{\frac{1}{2}} - 1)(m^{\frac{1}{2}} + 1)} $

Сократим дробь на $ (m^{\frac{1}{2}} - 1) $:

$ \frac{2m^{\frac{1}{2}}}{m^{\frac{1}{2}} + 1} $

Теперь перемножим упрощенные части:

$ \frac{(m^{\frac{1}{2}} + 1)^2}{2m^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{2m^{\frac{1}{2}}}{m^{\frac{1}{2}} + 1} $

Сокращаем общие множители $ 2m^{\frac{1}{2}} $ и $ (m^{\frac{1}{2}} + 1) $. В результате остается:

$ m^{\frac{1}{2}} + 1 $

Ответ: $ m^{\frac{1}{2}} + 1 $