Номер 1283, страница 405 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Алимов, Колягин

Упражнения для итогового повторения курса алгебры и начал математического анализа. 1. Числа и алгебраические преобразования - номер 1283, страница 405.

Условие.

1283 1) $ \left( \frac{a\sqrt{a}-1}{\sqrt{a}-1} + \sqrt{a} \right) : \frac{a-1}{\sqrt{a}-1} $

2) $ \left( \frac{1+b\sqrt{b}}{1+\sqrt{b}} - \sqrt{b} \right) \cdot \frac{1+\sqrt{b}}{1-b} $

Решение 1.

Решение 2.

Решение 5.

Решение 7.

Решение 8.

1)

Упростим выражение $(\frac{a\sqrt{a}-1}{\sqrt{a}-1} + \sqrt{a}) : \frac{a-1}{\sqrt{a}-1}$.

Сначала выполним действия в скобках. Для этого упростим первую дробь, используя формулу разности кубов $x^3-y^3=(x-y)(x^2+xy+y^2)$.

Представим числитель $a\sqrt{a}-1$ как $(\sqrt{a})^3 - 1^3$.

$\frac{a\sqrt{a}-1}{\sqrt{a}-1} = \frac{(\sqrt{a})^3 - 1^3}{\sqrt{a}-1} = \frac{(\sqrt{a}-1)((\sqrt{a})^2+\sqrt{a}\cdot1+1^2)}{\sqrt{a}-1} = \frac{(\sqrt{a}-1)(a+\sqrt{a}+1)}{\sqrt{a}-1} = a+\sqrt{a}+1$.

Теперь подставим это выражение обратно в скобки:

$\frac{a\sqrt{a}-1}{\sqrt{a}-1} + \sqrt{a} = a+\sqrt{a}+1 + \sqrt{a} = a+2\sqrt{a}+1$.

Полученное выражение является полным квадратом: $a+2\sqrt{a}+1 = (\sqrt{a}+1)^2$.

Теперь упростим делитель $\frac{a-1}{\sqrt{a}-1}$, используя формулу разности квадратов $x^2-y^2=(x-y)(x+y)$.

$\frac{a-1}{\sqrt{a}-1} = \frac{(\sqrt{a})^2-1^2}{\sqrt{a}-1} = \frac{(\sqrt{a}-1)(\sqrt{a}+1)}{\sqrt{a}-1} = \sqrt{a}+1$.

Выполним деление:

$(\sqrt{a}+1)^2 : (\sqrt{a}+1) = \sqrt{a}+1$.

Ответ: $\sqrt{a}+1$

2)

Упростим выражение $(\frac{1+b\sqrt{b}}{1+\sqrt{b}} - \sqrt{b}) \cdot \frac{1+\sqrt{b}}{1-b}$.

Сначала выполним действия в скобках. Для этого упростим первую дробь, используя формулу суммы кубов $x^3+y^3=(x+y)(x^2-xy+y^2)$.

Представим числитель $1+b\sqrt{b}$ как $1^3 + (\sqrt{b})^3$.

$\frac{1+b\sqrt{b}}{1+\sqrt{b}} = \frac{1^3+(\sqrt{b})^3}{1+\sqrt{b}} = \frac{(1+\sqrt{b})(1^2-1\cdot\sqrt{b}+(\sqrt{b})^2)}{1+\sqrt{b}} = \frac{(1+\sqrt{b})(1-\sqrt{b}+b)}{1+\sqrt{b}} = 1-\sqrt{b}+b$.

Теперь подставим это выражение обратно в скобки:

$\frac{1+b\sqrt{b}}{1+\sqrt{b}} - \sqrt{b} = 1-\sqrt{b}+b - \sqrt{b} = 1-2\sqrt{b}+b$.

Полученное выражение является полным квадратом: $1-2\sqrt{b}+b = (1-\sqrt{b})^2$.

Теперь упростим второй множитель $\frac{1+\sqrt{b}}{1-b}$, используя формулу разности квадратов $x^2-y^2=(x-y)(x+y)$ для знаменателя.

$\frac{1+\sqrt{b}}{1-b} = \frac{1+\sqrt{b}}{1^2-(\sqrt{b})^2} = \frac{1+\sqrt{b}}{(1-\sqrt{b})(1+\sqrt{b})} = \frac{1}{1-\sqrt{b}}$.

Выполним умножение:

$(1-\sqrt{b})^2 \cdot \frac{1}{1-\sqrt{b}} = 1-\sqrt{b}$.

Ответ: $1-\sqrt{b}$