Номер 1287, страница 406 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Алимов, Колягин

Упражнения для итогового повторения курса алгебры и начал математического анализа. 1. Числа и алгебраические преобразования - номер 1287, страница 406.

Условие.

1287 $ \left( \frac{3 \sqrt[3]{b}}{\sqrt[3]{b^4} - 9 \sqrt[3]{b}} + \frac{1}{\sqrt{b} - \frac{9}{\sqrt{b}}} \right)^{-2} - (b^2 + 18b + 81)^{0,5} $

Решение 1.

Решение 2.

Решение 5.

Решение 7.

Решение 8.

Для решения данной задачи сначала упростим выражение по частям, определив область допустимых значений (ОДЗ).

1. Определение ОДЗ.

В выражении присутствуют квадратные и кубические корни, а также дроби.

• Подкоренное выражение квадратного корня должно быть неотрицательным: $b \ge 0$.
• Знаменатели дробей не могут быть равны нулю:
• $\sqrt[3]{b^4} - 9\sqrt[3]{b} \neq 0 \implies \sqrt[3]{b}(b-9) \neq 0$. Отсюда следует, что $b \neq 0$ и $b \neq 9$.
• $\sqrt{b} - \frac{9}{\sqrt{b}} \neq 0$. Это также требует, чтобы $b > 0$ (из-за $\sqrt{b}$ в знаменателе) и $b-9 \neq 0$.

Объединяя все условия, получаем ОДЗ: $b > 0$ и $b \neq 9$.

2. Упрощение первого слагаемого в скобках.

$\frac{3\sqrt[3]{b}}{\sqrt[3]{b^4} - 9\sqrt[3]{b}}$

Вынесем общий множитель $\sqrt[3]{b}$ в знаменателе:

$\frac{3\sqrt[3]{b}}{\sqrt[3]{b}(b - 9)} = \frac{3}{b - 9}$

3. Упрощение второго слагаемого в скобках.

$\frac{1}{\sqrt{b} - \frac{9}{\sqrt{b}}}$

Приведем выражение в знаменателе к общему знаменателю:

$\frac{1}{\frac{(\sqrt{b})^2 - 9}{\sqrt{b}}} = \frac{1}{\frac{b-9}{\sqrt{b}}} = \frac{\sqrt{b}}{b-9}$

4. Сложение выражений в скобках и возведение в степень.

Сложим полученные упрощенные дроби:

$\frac{3}{b - 9} + \frac{\sqrt{b}}{b - 9} = \frac{3 + \sqrt{b}}{b - 9}$

Теперь возведем результат в степень -2:

$\left( \frac{3 + \sqrt{b}}{b - 9} \right)^{-2} = \left( \frac{b - 9}{3 + \sqrt{b}} \right)^{2}$

Разложим числитель $b-9$ по формуле разности квадратов $a^2-c^2=(a-c)(a+c)$:

$b-9 = (\sqrt{b})^2 - 3^2 = (\sqrt{b}-3)(\sqrt{b}+3)$

Подставим это в выражение:

$\left( \frac{(\sqrt{b}-3)(\sqrt{b}+3)}{3 + \sqrt{b}} \right)^{2} = (\sqrt{b}-3)^2$

Раскроем скобки по формуле квадрата разности $(a-c)^2=a^2-2ac+c^2$:

$(\sqrt{b}-3)^2 = (\sqrt{b})^2 - 2 \cdot \sqrt{b} \cdot 3 + 3^2 = b - 6\sqrt{b} + 9$

5. Упрощение второго члена исходного выражения.

$(b^2 + 18b + 81)^{0.5}$

Выражение в скобках является полным квадратом суммы $(a+c)^2=a^2+2ac+c^2$:

$b^2 + 2 \cdot b \cdot 9 + 9^2 = (b+9)^2$

Тогда выражение принимает вид:

$((b+9)^2)^{0.5} = \sqrt{(b+9)^2} = |b+9|$

Так как по ОДЗ $b>0$, то $b+9$ всегда положительно. Следовательно, $|b+9| = b+9$.

6. Вычисление итогового результата.

Вычтем из результата шага 4 результат шага 5:

$(b - 6\sqrt{b} + 9) - (b+9) = b - 6\sqrt{b} + 9 - b - 9 = -6\sqrt{b}$

Ответ: $-6\sqrt{b}$