Номер 1294, страница 406 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Алимов, Колягин

Упражнения для итогового повторения курса алгебры и начал математического анализа. 1. Числа и алгебраические преобразования - номер 1294, страница 406.

Условие.

1294 Доказать, что если $\alpha + \beta + \gamma = \pi$, то:

1) $\sin \alpha + \sin \beta - \sin \gamma = 4 \sin \frac{\alpha}{2} \sin \frac{\beta}{2} \cos \frac{\gamma}{2}$;

2) $\sin 2\alpha + \sin 2\beta + \sin 2\gamma = 4 \sin \alpha \sin \beta \sin \gamma$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 5.

Решение 7.

Решение 8.

1) Докажем тождество $ \sin \alpha + \sin \beta - \sin \gamma = 4 \sin \frac{\alpha}{2} \sin \frac{\beta}{2} \cos \frac{\gamma}{2} $ при условии $ \alpha + \beta + \gamma = \pi $.

Преобразуем левую часть равенства. Сгруппируем первые два слагаемых и применим формулу суммы синусов:

$ \sin \alpha + \sin \beta = 2 \sin \frac{\alpha+\beta}{2} \cos \frac{\alpha-\beta}{2} $

Получаем:

$ (\sin \alpha + \sin \beta) - \sin \gamma = 2 \sin \frac{\alpha+\beta}{2} \cos \frac{\alpha-\beta}{2} - \sin \gamma $

Из условия $ \alpha + \beta + \gamma = \pi $ следует, что $ \alpha + \beta = \pi - \gamma $, а значит $ \frac{\alpha+\beta}{2} = \frac{\pi - \gamma}{2} = \frac{\pi}{2} - \frac{\gamma}{2} $.

Используя формулу приведения $ \sin(\frac{\pi}{2} - x) = \cos x $, получаем:

$ \sin \frac{\alpha+\beta}{2} = \sin(\frac{\pi}{2} - \frac{\gamma}{2}) = \cos \frac{\gamma}{2} $

Подставим это в наше выражение. Также применим формулу синуса двойного угла для $ \sin \gamma = 2 \sin \frac{\gamma}{2} \cos \frac{\gamma}{2} $:

$ 2 \cos \frac{\gamma}{2} \cos \frac{\alpha-\beta}{2} - 2 \sin \frac{\gamma}{2} \cos \frac{\gamma}{2} $

Вынесем общий множитель $ 2 \cos \frac{\gamma}{2} $ за скобки:

$ 2 \cos \frac{\gamma}{2} \left( \cos \frac{\alpha-\beta}{2} - \sin \frac{\gamma}{2} \right) $

Теперь преобразуем $ \sin \frac{\gamma}{2} $. Из условия $ \alpha + \beta + \gamma = \pi $ следует, что $ \gamma = \pi - (\alpha + \beta) $, а значит $ \frac{\gamma}{2} = \frac{\pi}{2} - \frac{\alpha+\beta}{2} $.

Используя формулу приведения $ \sin(\frac{\pi}{2} - x) = \cos x $, получаем:

$ \sin \frac{\gamma}{2} = \sin(\frac{\pi}{2} - \frac{\alpha+\beta}{2}) = \cos \frac{\alpha+\beta}{2} $

Подставим это в выражение в скобках:

$ 2 \cos \frac{\gamma}{2} \left( \cos \frac{\alpha-\beta}{2} - \cos \frac{\alpha+\beta}{2} \right) $

Применим формулу разности косинусов $ \cos A - \cos B = -2 \sin \frac{A+B}{2} \sin \frac{A-B}{2} $:

$ \cos \frac{\alpha-\beta}{2} - \cos \frac{\alpha+\beta}{2} = -2 \sin \frac{\frac{\alpha-\beta}{2} + \frac{\alpha+\beta}{2}}{2} \sin \frac{\frac{\alpha-\beta}{2} - \frac{\alpha+\beta}{2}}{2} = -2 \sin \frac{\alpha}{2} \sin(-\frac{\beta}{2}) $

Так как $ \sin(-x) = -\sin x $, то:

$ -2 \sin \frac{\alpha}{2} (-\sin \frac{\beta}{2}) = 2 \sin \frac{\alpha}{2} \sin \frac{\beta}{2} $

Подставим результат обратно в наше основное выражение:

$ 2 \cos \frac{\gamma}{2} \left( 2 \sin \frac{\alpha}{2} \sin \frac{\beta}{2} \right) = 4 \sin \frac{\alpha}{2} \sin \frac{\beta}{2} \cos \frac{\gamma}{2} $

Левая часть равна правой, что и требовалось доказать.

Ответ: Тождество доказано.

2) Докажем тождество $ \sin 2\alpha + \sin 2\beta + \sin 2\gamma = 4 \sin \alpha \sin \beta \sin \gamma $ при условии $ \alpha + \beta + \gamma = \pi $.

Преобразуем левую часть равенства. Применим формулу суммы синусов для первых двух слагаемых:

$ \sin 2\alpha + \sin 2\beta = 2 \sin \frac{2\alpha+2\beta}{2} \cos \frac{2\alpha-2\beta}{2} = 2 \sin(\alpha+\beta) \cos(\alpha-\beta) $

Получаем:

$ (\sin 2\alpha + \sin 2\beta) + \sin 2\gamma = 2 \sin(\alpha+\beta) \cos(\alpha-\beta) + \sin 2\gamma $

Из условия $ \alpha + \beta + \gamma = \pi $ следует, что $ \alpha + \beta = \pi - \gamma $.

Используя формулу приведения $ \sin(\pi - x) = \sin x $, получаем:

$ \sin(\alpha+\beta) = \sin(\pi - \gamma) = \sin \gamma $

Подставим это в наше выражение. Также применим формулу синуса двойного угла для $ \sin 2\gamma = 2 \sin \gamma \cos \gamma $:

$ 2 \sin \gamma \cos(\alpha-\beta) + 2 \sin \gamma \cos \gamma $

Вынесем общий множитель $ 2 \sin \gamma $ за скобки:

$ 2 \sin \gamma (\cos(\alpha-\beta) + \cos \gamma) $

Теперь преобразуем $ \cos \gamma $. Из условия $ \alpha + \beta + \gamma = \pi $ следует, что $ \gamma = \pi - (\alpha + \beta) $.

Используя формулу приведения $ \cos(\pi - x) = -\cos x $, получаем:

$ \cos \gamma = \cos(\pi - (\alpha+\beta)) = -\cos(\alpha+\beta) $

Подставим это в выражение в скобках:

$ 2 \sin \gamma (\cos(\alpha-\beta) - \cos(\alpha+\beta)) $

Применим формулу разности косинусов $ \cos A - \cos B = -2 \sin \frac{A+B}{2} \sin \frac{A-B}{2} $:

$ \cos(\alpha-\beta) - \cos(\alpha+\beta) = -2 \sin \frac{(\alpha-\beta)+(\alpha+\beta)}{2} \sin \frac{(\alpha-\beta)-(\alpha+\beta)}{2} = -2 \sin \alpha \sin(-\beta) $

Так как $ \sin(-\beta) = -\sin \beta $, то:

$ -2 \sin \alpha (-\sin \beta) = 2 \sin \alpha \sin \beta $

Подставим результат обратно в наше основное выражение:

$ 2 \sin \gamma (2 \sin \alpha \sin \beta) = 4 \sin \alpha \sin \beta \sin \gamma $

Левая часть равна правой, что и требовалось доказать.

Ответ: Тождество доказано.