Номер 1301, страница 407 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Алимов, Колягин

Упражнения для итогового повторения курса алгебры и начал математического анализа. 1. Числа и алгебраические преобразования - номер 1301, страница 407.

Условие.

1301 1) $\frac{1 + \cos 2\alpha}{2 \cos \alpha}$;

2) $\frac{\text{tg } \alpha - \sin \alpha}{\text{tg } \alpha + \sin \alpha}$;

3) $\frac{\sin \alpha + \sin 3\alpha + \sin 5\alpha}{\cos \alpha + \cos 3\alpha + \cos 5\alpha}$;

4) $\frac{2 \sin 2\alpha + \sin 4\alpha}{2 \sin 2\alpha - \sin 4\alpha}$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 5.

Решение 7.

Решение 8.

1) Упростим выражение $ \frac{1 + \cos 2\alpha}{2 \cos \alpha} $.
Для преобразования числителя воспользуемся формулой косинуса двойного угла: $ \cos 2\alpha = 2\cos^2 \alpha - 1 $. Отсюда $ 1 + \cos 2\alpha = 2\cos^2 \alpha $.
Подставим это в исходное выражение:
$ \frac{2\cos^2 \alpha}{2 \cos \alpha} $.
Сократим дробь на общий множитель $ 2 \cos \alpha $ (при условии, что $ \cos \alpha \neq 0 $):
$ \cos \alpha $.
Ответ: $ \cos \alpha $.

2) Упростим выражение $ \frac{\operatorname{tg} \alpha - \sin \alpha}{\operatorname{tg} \alpha + \sin \alpha} $.
Заменим тангенс через отношение синуса к косинусу: $ \operatorname{tg} \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} $.
$ \frac{\frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} - \sin \alpha}{\frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} + \sin \alpha} $.
Вынесем $ \sin \alpha $ за скобки в числителе и знаменателе:
$ \frac{\sin \alpha (\frac{1}{\cos \alpha} - 1)}{\sin \alpha (\frac{1}{\cos \alpha} + 1)} = \frac{\frac{1 - \cos \alpha}{\cos \alpha}}{\frac{1 + \cos \alpha}{\cos \alpha}} $.
Сократив $ \cos \alpha $, получим:
$ \frac{1 - \cos \alpha}{1 + \cos \alpha} $.
Теперь воспользуемся формулами половинного угла: $ 1 - \cos \alpha = 2\sin^2\frac{\alpha}{2} $ и $ 1 + \cos \alpha = 2\cos^2\frac{\alpha}{2} $.
$ \frac{2\sin^2\frac{\alpha}{2}}{2\cos^2\frac{\alpha}{2}} = \frac{\sin^2\frac{\alpha}{2}}{\cos^2\frac{\alpha}{2}} = \operatorname{tg}^2\frac{\alpha}{2} $.
Ответ: $ \operatorname{tg}^2\frac{\alpha}{2} $.

3) Упростим выражение $ \frac{\sin \alpha + \sin 3\alpha + \sin 5\alpha}{\cos \alpha + \cos 3\alpha + \cos 5\alpha} $.
Сгруппируем первое и третье слагаемые в числителе и знаменателе и применим формулы суммы синусов и суммы косинусов:
$ \sin x + \sin y = 2\sin\frac{x+y}{2}\cos\frac{x-y}{2} $
$ \cos x + \cos y = 2\cos\frac{x+y}{2}\cos\frac{x-y}{2} $
Преобразуем числитель:
$ (\sin 5\alpha + \sin \alpha) + \sin 3\alpha = 2\sin\frac{5\alpha+\alpha}{2}\cos\frac{5\alpha-\alpha}{2} + \sin 3\alpha = 2\sin 3\alpha \cos 2\alpha + \sin 3\alpha = \sin 3\alpha (2\cos 2\alpha + 1) $.
Преобразуем знаменатель:
$ (\cos 5\alpha + \cos \alpha) + \cos 3\alpha = 2\cos\frac{5\alpha+\alpha}{2}\cos\frac{5\alpha-\alpha}{2} + \cos 3\alpha = 2\cos 3\alpha \cos 2\alpha + \cos 3\alpha = \cos 3\alpha (2\cos 2\alpha + 1) $.
Получаем дробь:
$ \frac{\sin 3\alpha (2\cos 2\alpha + 1)}{\cos 3\alpha (2\cos 2\alpha + 1)} $.
Сокращаем на общий множитель $ (2\cos 2\alpha + 1) $:
$ \frac{\sin 3\alpha}{\cos 3\alpha} = \operatorname{tg} 3\alpha $.
Ответ: $ \operatorname{tg} 3\alpha $.

4) Упростим выражение $ \frac{2 \sin 2\alpha + \sin 4\alpha}{2 \sin 2\alpha - \sin 4\alpha} $.
Применим формулу синуса двойного угла для $ \sin 4\alpha $: $ \sin 4\alpha = 2\sin 2\alpha \cos 2\alpha $.
Подставим в исходное выражение:
$ \frac{2 \sin 2\alpha + 2\sin 2\alpha \cos 2\alpha}{2 \sin 2\alpha - 2\sin 2\alpha \cos 2\alpha} $.
Вынесем общий множитель $ 2\sin 2\alpha $ за скобки:
$ \frac{2\sin 2\alpha (1 + \cos 2\alpha)}{2\sin 2\alpha (1 - \cos 2\alpha)} $.
Сократим на $ 2\sin 2\alpha $ (при условии, что $ \sin 2\alpha \neq 0 $):
$ \frac{1 + \cos 2\alpha}{1 - \cos 2\alpha} $.
Воспользуемся формулами понижения степени: $ 1 + \cos 2\alpha = 2\cos^2 \alpha $ и $ 1 - \cos 2\alpha = 2\sin^2 \alpha $.
$ \frac{2\cos^2 \alpha}{2\sin^2 \alpha} = \frac{\cos^2 \alpha}{\sin^2 \alpha} = \operatorname{ctg}^2 \alpha $.
Ответ: $ \operatorname{ctg}^2 \alpha $.