Номер 1307, страница 407 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Алимов, Колягин

Упражнения для итогового повторения курса алгебры и начал математического анализа. 1. Числа и алгебраические преобразования - номер 1307, страница 407.

Условие.

1307 1) $\frac{\cos 4\alpha - \cos 2\alpha}{\sin 3\alpha \sin \alpha}$;

2) $\frac{1 + \cos \alpha + \cos 2\alpha + \cos 3\alpha}{\cos \alpha + 2 \cos^2 \alpha - 1}$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 5.

Решение 7.

Решение 8.

1) Упростим выражение $ \frac{\cos 4\alpha - \cos 2\alpha}{\sin 3\alpha \sin \alpha} $.

Для числителя применим формулу разности косинусов:

$ \cos x - \cos y = -2 \sin \frac{x+y}{2} \sin \frac{x-y}{2} $

В нашем случае $ x = 4\alpha $ и $ y = 2\alpha $. Подставим эти значения в формулу:

$ \cos 4\alpha - \cos 2\alpha = -2 \sin \frac{4\alpha+2\alpha}{2} \sin \frac{4\alpha-2\alpha}{2} = -2 \sin \frac{6\alpha}{2} \sin \frac{2\alpha}{2} = -2 \sin 3\alpha \sin \alpha $

Теперь подставим полученное выражение обратно в исходную дробь:

$ \frac{-2 \sin 3\alpha \sin \alpha}{\sin 3\alpha \sin \alpha} $

Сократим одинаковые множители в числителе и знаменателе ($ \sin 3\alpha $ и $ \sin \alpha $, при условии, что они не равны нулю):

$ \frac{-2 \cancel{\sin 3\alpha} \cancel{\sin \alpha}}{\cancel{\sin 3\alpha} \cancel{\sin \alpha}} = -2 $

Ответ: -2

2) Упростим выражение $ \frac{1 + \cos \alpha + \cos 2\alpha + \cos 3\alpha}{\cos \alpha + 2 \cos^2 \alpha - 1} $.

Сначала преобразуем знаменатель, используя формулу косинуса двойного угла $ \cos 2\alpha = 2 \cos^2 \alpha - 1 $:

$ \cos \alpha + 2 \cos^2 \alpha - 1 = \cos \alpha + (2 \cos^2 \alpha - 1) = \cos \alpha + \cos 2\alpha $

Теперь преобразуем числитель. Сгруппируем слагаемые: $ (1 + \cos 2\alpha) + (\cos \alpha + \cos 3\alpha) $.

Для первой группы используем формулу понижения степени, которая следует из формулы косинуса двойного угла: $ 1 + \cos 2\alpha = 2 \cos^2 \alpha $.

Для второй группы применим формулу суммы косинусов:

$ \cos x + \cos y = 2 \cos \frac{x+y}{2} \cos \frac{x-y}{2} $

В нашем случае $ x = 3\alpha $ и $ y = \alpha $:

$ \cos 3\alpha + \cos \alpha = 2 \cos \frac{3\alpha+\alpha}{2} \cos \frac{3\alpha-\alpha}{2} = 2 \cos \frac{4\alpha}{2} \cos \frac{2\alpha}{2} = 2 \cos 2\alpha \cos \alpha $

Теперь соберем числитель обратно:

$ (1 + \cos 2\alpha) + (\cos \alpha + \cos 3\alpha) = 2 \cos^2 \alpha + 2 \cos 2\alpha \cos \alpha $

Вынесем общий множитель $ 2 \cos \alpha $ за скобки:

$ 2 \cos \alpha (\cos \alpha + \cos 2\alpha) $

Подставим преобразованные числитель и знаменатель в исходную дробь:

$ \frac{2 \cos \alpha (\cos \alpha + \cos 2\alpha)}{\cos \alpha + \cos 2\alpha} $

Сократим общий множитель $ (\cos \alpha + \cos 2\alpha) $ (при условии, что он не равен нулю):

$ \frac{2 \cos \alpha \cancel{(\cos \alpha + \cos 2\alpha)}}{\cancel{\cos \alpha + \cos 2\alpha}} = 2 \cos \alpha $

Ответ: $2 \cos \alpha$