Номер 1310, страница 407 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Алимов, Колягин

Упражнения для итогового повторения курса алгебры и начал математического анализа. 1. Числа и алгебраические преобразования - номер 1310, страница 407.

Условие.

1310 Вычислить $\frac{\sin \alpha \cos \alpha}{\sin^2 \alpha - \cos^2 \alpha}$, если $\operatorname{ctg} \alpha = \frac{3}{4}$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 5.

Решение 7.

Решение 8.

Для решения данной задачи преобразуем исходное выражение, выразив его через $\ctg \alpha$. По определению, $\ctg \alpha = \frac{\cos \alpha}{\sin \alpha}$. Чтобы получить в выражении котангенсы, разделим числитель и знаменатель дроби на $\sin^2 \alpha$. Это действие является корректным, поскольку если $\sin \alpha = 0$, то $\ctg \alpha$ не определен, что противоречит условию $\ctg \alpha = \frac{3}{4}$.

Исходное выражение:$$ \frac{\sin \alpha \cos \alpha}{\sin^2 \alpha - \cos^2 \alpha} $$Разделив числитель и знаменатель на $\sin^2 \alpha$, получаем:$$ \frac{\frac{\sin \alpha \cos \alpha}{\sin^2 \alpha}}{\frac{\sin^2 \alpha - \cos^2 \alpha}{\sin^2 \alpha}} = \frac{\frac{\cos \alpha}{\sin \alpha}}{\frac{\sin^2 \alpha}{\sin^2 \alpha} - \frac{\cos^2 \alpha}{\sin^2 \alpha}} = \frac{\ctg \alpha}{1 - \ctg^2 \alpha} $$

Теперь, когда выражение зависит только от $\ctg \alpha$, подставим в него известное значение $\ctg \alpha = \frac{3}{4}$:$$ \frac{\frac{3}{4}}{1 - \left(\frac{3}{4}\right)^2} = \frac{\frac{3}{4}}{1 - \frac{9}{16}} = \frac{\frac{3}{4}}{\frac{16 - 9}{16}} = \frac{\frac{3}{4}}{\frac{7}{16}} $$

Выполним деление дробей, умножив первую дробь на перевернутую вторую:$$ \frac{3}{4} \cdot \frac{16}{7} = \frac{3 \cdot 16}{4 \cdot 7} = \frac{3 \cdot 4}{7} = \frac{12}{7} $$

Ответ: $\frac{12}{7}$