Номер 1306, страница 407 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Алимов, Колягин

Упражнения для итогового повторения курса алгебры и начал математического анализа. 1. Числа и алгебраические преобразования - номер 1306, страница 407.

Условие.

1306 1) $\cos^2 (\alpha + 2\beta) + \sin^2 (\alpha - 2\beta) - 1;$

2) $\sin^2 (\alpha + 2\beta) + \sin^2 (\alpha - 2\beta) - 1.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 5.

Решение 7.

Решение 8.

1) Чтобы упростить выражение $cos^2(α + 2β) + sin^2(α - 2β) - 1$, воспользуемся формулами понижения степени: $cos^2(x) = \frac{1 + cos(2x)}{2}$ и $sin^2(x) = \frac{1 - cos(2x)}{2}$.
Подставим эти формулы в исходное выражение:
$cos^2(α + 2β) + sin^2(α - 2β) - 1 = \frac{1 + cos(2(α + 2β))}{2} + \frac{1 - cos(2(α - 2β))}{2} - 1$
Раскроем скобки в аргументах косинусов и приведем дроби к общему знаменателю:
$= \frac{1 + cos(2α + 4β) + 1 - cos(2α - 4β)}{2} - 1$
$= \frac{2 + cos(2α + 4β) - cos(2α - 4β)}{2} - 1$
Разделим числитель на знаменатель почленно:
$= 1 + \frac{cos(2α + 4β) - cos(2α - 4β)}{2} - 1$
$= \frac{cos(2α + 4β) - cos(2α - 4β)}{2}$
Теперь применим формулу преобразования разности косинусов в произведение: $cos(A) - cos(B) = -2sin(\frac{A+B}{2})sin(\frac{A-B}{2})$.
В нашем случае $A = 2α + 4β$ и $B = 2α - 4β$.
Находим полусумму и полуразность аргументов:
$\frac{A+B}{2} = \frac{(2α + 4β) + (2α - 4β)}{2} = \frac{4α}{2} = 2α$
$\frac{A-B}{2} = \frac{(2α + 4β) - (2α - 4β)}{2} = \frac{8β}{2} = 4β$
Подставляем в выражение:
$\frac{-2sin(2α)sin(4β)}{2} = -sin(2α)sin(4β)$
Ответ: $-sin(2α)sin(4β)$

2) Чтобы упростить выражение $sin^2(α + 2β) + sin^2(α - 2β) - 1$, воспользуемся формулой понижения степени: $sin^2(x) = \frac{1 - cos(2x)}{2}$.
Подставим эту формулу для каждого слагаемого:
$sin^2(α + 2β) + sin^2(α - 2β) - 1 = \frac{1 - cos(2(α + 2β))}{2} + \frac{1 - cos(2(α - 2β))}{2} - 1$
Раскроем скобки в аргументах косинусов и выполним сложение дробей:
$= \frac{1 - cos(2α + 4β) + 1 - cos(2α - 4β)}{2} - 1$
$= \frac{2 - (cos(2α + 4β) + cos(2α - 4β))}{2} - 1$
Разделим числитель на знаменатель почленно:
$= 1 - \frac{cos(2α + 4β) + cos(2α - 4β)}{2} - 1$
$= -\frac{cos(2α + 4β) + cos(2α - 4β)}{2}$
Теперь применим формулу преобразования суммы косинусов в произведение: $cos(A) + cos(B) = 2cos(\frac{A+B}{2})cos(\frac{A-B}{2})$.
Как и в предыдущем пункте, $A = 2α + 4β$ и $B = 2α - 4β$, поэтому $\frac{A+B}{2} = 2α$ и $\frac{A-B}{2} = 4β$.
Подставляем в выражение:
$-\frac{2cos(2α)cos(4β)}{2} = -cos(2α)cos(4β)$
Ответ: $-cos(2α)cos(4β)$