Номер 1313, страница 407 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Алимов, Колягин

Упражнения для итогового повторения курса алгебры и начал математического анализа. 1. Числа и алгебраические преобразования - номер 1313, страница 407.

Условие.

1313 1) $1 + \sin \alpha = 2 \cos^2 \left( \frac{\pi}{4} - \frac{\alpha}{2} \right)$;

2) $1 - \sin \alpha = 2 \sin^2 \left( \frac{\pi}{4} - \frac{\alpha}{2} \right)$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 5.

Решение 7.

Решение 8.

1) Докажем тождество $1 + \sin \alpha = 2 \cos^2 \left( \frac{\pi}{4} - \frac{\alpha}{2} \right)$.

Для доказательства преобразуем левую часть выражения. Сначала воспользуемся формулой приведения, чтобы выразить синус через косинус: $\sin \alpha = \cos\left(\frac{\pi}{2} - \alpha\right)$.

$1 + \sin \alpha = 1 + \cos\left(\frac{\pi}{2} - \alpha\right)$

Далее, применим формулу косинуса двойного угла, записанную в виде $1 + \cos(2x) = 2 \cos^2 x$. В нашем случае, если принять $2x = \frac{\pi}{2} - \alpha$, то $x = \frac{1}{2}\left(\frac{\pi}{2} - \alpha\right) = \frac{\pi}{4} - \frac{\alpha}{2}$.

Подставив это в наше выражение, получаем:

$1 + \cos\left(\frac{\pi}{2} - \alpha\right) = 2 \cos^2 \left(\frac{\pi}{4} - \frac{\alpha}{2}\right)$

Таким образом, мы преобразовали левую часть тождества в правую, что и требовалось доказать.

Ответ: Тождество доказано.

2) Докажем тождество $1 - \sin \alpha = 2 \sin^2 \left( \frac{\pi}{4} - \frac{\alpha}{2} \right)$.

Аналогично первому пункту, преобразуем левую часть. Снова используем формулу приведения $\sin \alpha = \cos\left(\frac{\pi}{2} - \alpha\right)$.

$1 - \sin \alpha = 1 - \cos\left(\frac{\pi}{2} - \alpha\right)$

Теперь применим другую формулу, связанную с косинусом двойного угла: $1 - \cos(2x) = 2 \sin^2 x$. Положим, что $2x = \frac{\pi}{2} - \alpha$, тогда $x = \frac{\pi}{4} - \frac{\alpha}{2}$.

Выполнив подстановку в выражение, имеем:

$1 - \cos\left(\frac{\pi}{2} - \alpha\right) = 2 \sin^2 \left(\frac{\pi}{4} - \frac{\alpha}{2}\right)$

Левая часть тождества оказалась равна правой, что и требовалось доказать.

Ответ: Тождество доказано.