Номер 1315, страница 408 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Алимов, Колягин

Упражнения для итогового повторения курса алгебры и начал математического анализа. 1. Числа и алгебраические преобразования - номер 1315, страница 408.

Условие.

1315 1) $\frac{2}{\text{tg } \frac{\alpha}{2} + \text{ctg } \frac{\alpha}{2}} = \sin \alpha;$

2) $\frac{\text{ctg } \alpha - \text{tg } \alpha}{\text{ctg } \alpha + \text{tg } \alpha} = \cos 2\alpha.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 5.

Решение 7.

Решение 8.

1)

Требуется доказать тождество: $\frac{2}{\text{tg}\frac{\alpha}{2} + \text{ctg}\frac{\alpha}{2}} = \sin \alpha$.
Для доказательства преобразуем левую часть равенства. Сначала упростим знаменатель, выразив тангенс и котангенс через синус и косинус.

$\text{tg}\frac{\alpha}{2} + \text{ctg}\frac{\alpha}{2} = \frac{\sin\frac{\alpha}{2}}{\cos\frac{\alpha}{2}} + \frac{\cos\frac{\alpha}{2}}{\sin\frac{\alpha}{2}}$

Приводим дроби к общему знаменателю $\sin\frac{\alpha}{2}\cos\frac{\alpha}{2}$:

$\frac{\sin^2\frac{\alpha}{2} + \cos^2\frac{\alpha}{2}}{\sin\frac{\alpha}{2}\cos\frac{\alpha}{2}}$

Согласно основному тригонометрическому тождеству, $\sin^2 x + \cos^2 x = 1$. Применив его к числителю, получаем:

$\frac{1}{\sin\frac{\alpha}{2}\cos\frac{\alpha}{2}}$

Теперь подставим это выражение обратно в знаменатель исходной дроби:

$\frac{2}{\frac{1}{\sin\frac{\alpha}{2}\cos\frac{\alpha}{2}}} = 2\sin\frac{\alpha}{2}\cos\frac{\alpha}{2}$

Используем формулу синуса двойного угла: $\sin(2x) = 2\sin x \cos x$. Для $x = \frac{\alpha}{2}$, эта формула принимает вид $2\sin\frac{\alpha}{2}\cos\frac{\alpha}{2} = \sin \alpha$.

Таким образом, левая часть тождества равна $\sin \alpha$, что и требовалось доказать.
Ответ: Тождество доказано, так как в результате преобразований левой части было получено выражение, стоящее в правой части.

2)

Требуется доказать тождество: $\frac{\text{ctg}\alpha - \text{tg}\alpha}{\text{ctg}\alpha + \text{tg}\alpha} = \cos 2\alpha$.
Преобразуем левую часть равенства. Выразим тангенс и котангенс через синус и косинус: $\text{tg}\alpha = \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}$ и $\text{ctg}\alpha = \frac{\cos\alpha}{\sin\alpha}$.

Подставим эти выражения в дробь:

$\frac{\frac{\cos\alpha}{\sin\alpha} - \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}}{\frac{\cos\alpha}{\sin\alpha} + \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}}$

Приведем к общему знаменателю $\sin\alpha\cos\alpha$ выражения в числителе и знаменателе основной дроби:

$\frac{\frac{\cos^2\alpha - \sin^2\alpha}{\sin\alpha\cos\alpha}}{\frac{\cos^2\alpha + \sin^2\alpha}{\sin\alpha\cos\alpha}}$

Так как знаменатели числителя и знаменателя основной дроби одинаковы, их можно сократить:

$\frac{\cos^2\alpha - \sin^2\alpha}{\cos^2\alpha + \sin^2\alpha}$

В числителе мы имеем формулу косинуса двойного угла: $\cos 2\alpha = \cos^2\alpha - \sin^2\alpha$.
В знаменателе — основное тригонометрическое тождество: $\cos^2\alpha + \sin^2\alpha = 1$.
Подставив эти формулы, получаем:

$\frac{\cos 2\alpha}{1} = \cos 2\alpha$

Левая часть тождества равна правой, что и требовалось доказать.
Ответ: Тождество доказано, так как левая часть была приведена к выражению, стоящему в правой части.