Номер 1311, страница 407 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Алимов, Колягин

Упражнения для итогового повторения курса алгебры и начал математического анализа. 1. Числа и алгебраические преобразования - номер 1311, страница 407.

Условие.

1311 Упростить выражение и найти его числовое значение при данном значении $\alpha$: $\frac{2 - 3 \sin^2 \alpha}{\cos 2\alpha} - \frac{\sin \alpha + 2 \cos \alpha}{\sin \alpha + \cos \alpha}, \alpha = -\frac{\pi}{8}$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 7.

Решение 8.

Сначала упростим данное выражение. Обозначим его за $E$.

$E = \frac{2 - 3 \sin^2 \alpha}{\cos 2\alpha} - \frac{\sin \alpha + 2 \cos \alpha}{\sin \alpha + \cos \alpha}$

Преобразуем числитель первой дроби, используя основное тригонометрическое тождество $\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1$:

$2 - 3 \sin^2 \alpha = 2(\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha) - 3 \sin^2 \alpha = 2 \sin^2 \alpha + 2 \cos^2 \alpha - 3 \sin^2 \alpha = 2 \cos^2 \alpha - \sin^2 \alpha$.

Знаменатель первой дроби преобразуем по формуле косинуса двойного угла: $\cos 2\alpha = \cos^2 \alpha - \sin^2 \alpha$.

Подставим преобразованные части обратно в исходное выражение:

$E = \frac{2 \cos^2 \alpha - \sin^2 \alpha}{\cos^2 \alpha - \sin^2 \alpha} - \frac{\sin \alpha + 2 \cos \alpha}{\sin \alpha + \cos \alpha}$

Разложим знаменатель первой дроби по формуле разности квадратов: $\cos^2 \alpha - \sin^2 \alpha = (\cos \alpha - \sin \alpha)(\cos \alpha + \sin \alpha)$.

$E = \frac{2 \cos^2 \alpha - \sin^2 \alpha}{(\cos \alpha - \sin \alpha)(\cos \alpha + \sin \alpha)} - \frac{\sin \alpha + 2 \cos \alpha}{\cos \alpha + \sin \alpha}$

Приведем дроби к общему знаменателю $(\cos \alpha - \sin \alpha)(\cos \alpha + \sin \alpha)$:

$E = \frac{(2 \cos^2 \alpha - \sin^2 \alpha) - (\sin \alpha + 2 \cos \alpha)(\cos \alpha - \sin \alpha)}{(\cos \alpha - \sin \alpha)(\cos \alpha + \sin \alpha)}$

Раскроем скобки в числителе. Вычислим произведение $(\sin \alpha + 2 \cos \alpha)(\cos \alpha - \sin \alpha)$:

$(\sin \alpha + 2 \cos \alpha)(\cos \alpha - \sin \alpha) = \sin \alpha \cos \alpha - \sin^2 \alpha + 2 \cos^2 \alpha - 2 \sin \alpha \cos \alpha = 2 \cos^2 \alpha - \sin^2 \alpha - \sin \alpha \cos \alpha$.

Теперь подставим результат в числитель общего выражения и упростим его:

Числитель = $(2 \cos^2 \alpha - \sin^2 \alpha) - (2 \cos^2 \alpha - \sin^2 \alpha - \sin \alpha \cos \alpha)$

Числитель = $2 \cos^2 \alpha - \sin^2 \alpha - 2 \cos^2 \alpha + \sin^2 \alpha + \sin \alpha \cos \alpha = \sin \alpha \cos \alpha$.

Таким образом, выражение $E$ принимает вид:

$E = \frac{\sin \alpha \cos \alpha}{\cos^2 \alpha - \sin^2 \alpha}$

Используя формулы двойного угла: $\sin 2\alpha = 2 \sin \alpha \cos \alpha$ (откуда $\sin \alpha \cos \alpha = \frac{1}{2} \sin 2\alpha$) и $\cos 2\alpha = \cos^2 \alpha - \sin^2 \alpha$, получаем:

$E = \frac{\frac{1}{2} \sin 2\alpha}{\cos 2\alpha} = \frac{1}{2} \tan 2\alpha$.

Мы упростили выражение. Теперь найдем его числовое значение при данном $\alpha = -\frac{\pi}{8}$.

Подставим значение $\alpha$ в упрощенное выражение:

$E = \frac{1}{2} \tan \left(2 \cdot \left(-\frac{\pi}{8}\right)\right) = \frac{1}{2} \tan \left(-\frac{\pi}{4}\right)$.

Так как тангенс является нечетной функцией, то есть $\tan(-x) = -\tan(x)$, имеем:

$\tan \left(-\frac{\pi}{4}\right) = -\tan \left(\frac{\pi}{4}\right) = -1$.

Следовательно, искомое числовое значение выражения:

$E = \frac{1}{2} \cdot (-1) = -0.5$.

Ответ: Упрощенное выражение: $\frac{1}{2} \tan 2\alpha$; его значение при $\alpha = -\frac{\pi}{8}$ равно -0.5.