Номер 1312, страница 407 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Алимов, Колягин

Упражнения для итогового повторения курса алгебры и начал математического анализа. 1. Числа и алгебраические преобразования - номер 1312, страница 407.

Условие.

Доказать тождество (1312—1320).

1312 $\frac{\text{tg}(\alpha - \beta) + \text{tg } \beta}{\text{tg}(\alpha + \beta) - \text{tg } \beta} = \frac{\text{cos}(\alpha + \beta)}{\text{cos}(\alpha - \beta)}.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 5.

Решение 7.

Решение 8.

1312

Для доказательства тождества преобразуем его левую часть. Для этого представим тангенсы через синусы и косинусы, используя формулу $ \tg x = \frac{\sin x}{\cos x} $.

Сначала преобразуем числитель левой части:

$ \tg(\alpha - \beta) + \tg \beta = \frac{\sin(\alpha - \beta)}{\cos(\alpha - \beta)} + \frac{\sin \beta}{\cos \beta} $

Приведем дроби к общему знаменателю $ \cos(\alpha - \beta) \cos \beta $:

$ \frac{\sin(\alpha - \beta) \cos \beta + \cos(\alpha - \beta) \sin \beta}{\cos(\alpha - \beta) \cos \beta} $

Выражение в числителе соответствует формуле синуса суммы: $ \sin(A + B) = \sin A \cos B + \cos A \sin B $. В нашем случае $ A = \alpha - \beta $ и $ B = \beta $, поэтому:

$ \sin(\alpha - \beta) \cos \beta + \cos(\alpha - \beta) \sin \beta = \sin((\alpha - \beta) + \beta) = \sin \alpha $

Таким образом, числитель левой части равен: $ \frac{\sin \alpha}{\cos(\alpha - \beta) \cos \beta} $.

Теперь преобразуем знаменатель левой части:

$ \tg(\alpha + \beta) - \tg \beta = \frac{\sin(\alpha + \beta)}{\cos(\alpha + \beta)} - \frac{\sin \beta}{\cos \beta} $

Приведем дроби к общему знаменателю $ \cos(\alpha + \beta) \cos \beta $:

$ \frac{\sin(\alpha + \beta) \cos \beta - \cos(\alpha + \beta) \sin \beta}{\cos(\alpha + \beta) \cos \beta} $

Выражение в числителе соответствует формуле синуса разности: $ \sin(A - B) = \sin A \cos B - \cos A \sin B $. В нашем случае $ A = \alpha + \beta $ и $ B = \beta $, поэтому:

$ \sin(\alpha + \beta) \cos \beta - \cos(\alpha + \beta) \sin \beta = \sin((\alpha + \beta) - \beta) = \sin \alpha $

Таким образом, знаменатель левой части равен: $ \frac{\sin \alpha}{\cos(\alpha + \beta) \cos \beta} $.

Подставим полученные выражения для числителя и знаменателя обратно в левую часть исходного тождества:

$ \frac{\tg(\alpha - \beta) + \tg \beta}{\tg(\alpha + \beta) - \tg \beta} = \frac{\frac{\sin \alpha}{\cos(\alpha - \beta) \cos \beta}}{\frac{\sin \alpha}{\cos(\alpha + \beta) \cos \beta}} $

Чтобы разделить дроби, умножим числитель на дробь, обратную знаменателю:

$ \frac{\sin \alpha}{\cos(\alpha - \beta) \cos \beta} \cdot \frac{\cos(\alpha + \beta) \cos \beta}{\sin \alpha} $

Сократим общие множители $ \sin \alpha $ и $ \cos \beta $ (при условии, что они не равны нулю, что соответствует области допустимых значений тождества):

$ \frac{\cos(\alpha + \beta)}{\cos(\alpha - \beta)} $

Мы получили выражение, которое в точности совпадает с правой частью исходного тождества. Следовательно, тождество доказано.

Ответ: Тождество доказано.