Номер 1319, страница 408 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Алимов, Колягин

Упражнения для итогового повторения курса алгебры и начал математического анализа. 1. Числа и алгебраические преобразования - номер 1319, страница 408.

Условие.

1319 1) $\frac{1 - 2 \sin^2 \alpha}{1 + \sin 2\alpha} = \frac{1 - \operatorname{tg} \alpha}{1 + \operatorname{tg} \alpha};$

2) $\frac{1}{4 \sin^2 \alpha \cos^2 \alpha} = 1 + \frac{(1 - \operatorname{tg}^2 \alpha)^2}{4 \operatorname{tg}^2 \alpha};$

3) $\operatorname{tg} \left(\frac{\pi}{4} + \alpha\right) = \frac{1 + \sin 2\alpha}{\cos 2\alpha};$

4) $\frac{1 - \sin 2\alpha}{1 + \sin 2\alpha} = \operatorname{ctg}^2 \left(\frac{\pi}{4} + \alpha\right).$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 5.

Решение 7.

Решение 8.

1) Докажем тождество: $ \frac{1-2\sin^2\alpha}{1+\sin 2\alpha} = \frac{1-\text{tg}\alpha}{1+\text{tg}\alpha} $
Преобразуем левую часть равенства, используя формулы двойного угла $ \cos 2\alpha = 1 - 2\sin^2\alpha $, $ \sin 2\alpha = 2\sin\alpha\cos\alpha $, основное тригонометрическое тождество $ 1 = \sin^2\alpha + \cos^2\alpha $ и формулу разности квадратов $ a^2-b^2 = (a-b)(a+b) $.
$ \frac{1-2\sin^2\alpha}{1+\sin 2\alpha} = \frac{\cos 2\alpha}{\sin^2\alpha + \cos^2\alpha + 2\sin\alpha\cos\alpha} = \frac{\cos^2\alpha - \sin^2\alpha}{(\cos\alpha + \sin\alpha)^2} $
$ = \frac{(\cos\alpha - \sin\alpha)(\cos\alpha + \sin\alpha)}{(\cos\alpha + \sin\alpha)^2} = \frac{\cos\alpha - \sin\alpha}{\cos\alpha + \sin\alpha} $
Теперь разделим числитель и знаменатель на $ \cos\alpha $ (при условии, что $ \cos\alpha \ne 0 $):
$ \frac{\frac{\cos\alpha}{\cos\alpha} - \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}}{\frac{\cos\alpha}{\cos\alpha} + \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}} = \frac{1 - \text{tg}\alpha}{1 + \text{tg}\alpha} $
Левая часть равна правой, тождество доказано.
Ответ: Тождество доказано.

2) Докажем тождество: $ \frac{1}{4\sin^2\alpha\cos^2\alpha} = 1 + \frac{(1-\text{tg}^2\alpha)^2}{4\text{tg}^2\alpha} $
Преобразуем правую часть равенства. Приведем к общему знаменателю:
$ 1 + \frac{(1-\text{tg}^2\alpha)^2}{4\text{tg}^2\alpha} = \frac{4\text{tg}^2\alpha + (1-\text{tg}^2\alpha)^2}{4\text{tg}^2\alpha} $
Раскроем скобки в числителе, используя формулу квадрата разности $ (a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2 $:
$ \frac{4\text{tg}^2\alpha + 1 - 2\text{tg}^2\alpha + \text{tg}^4\alpha}{4\text{tg}^2\alpha} = \frac{1 + 2\text{tg}^2\alpha + \text{tg}^4\alpha}{4\text{tg}^2\alpha} $
Свернем числитель по формуле квадрата суммы $ (a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2 $:
$ \frac{(1+\text{tg}^2\alpha)^2}{4\text{tg}^2\alpha} $
Используем тождества $ 1+\text{tg}^2\alpha = \sec^2\alpha = \frac{1}{\cos^2\alpha} $ и $ \text{tg}^2\alpha = \frac{\sin^2\alpha}{\cos^2\alpha} $:
$ \frac{(\frac{1}{\cos^2\alpha})^2}{4\frac{\sin^2\alpha}{\cos^2\alpha}} = \frac{\frac{1}{\cos^4\alpha}}{\frac{4\sin^2\alpha}{\cos^2\alpha}} = \frac{1}{\cos^4\alpha} \cdot \frac{\cos^2\alpha}{4\sin^2\alpha} = \frac{1}{4\sin^2\alpha\cos^2\alpha} $
Правая часть равна левой, тождество доказано.
Ответ: Тождество доказано.

3) Докажем тождество: $ \text{tg}\left(\frac{\pi}{4}+\alpha\right) = \frac{1+\sin 2\alpha}{\cos 2\alpha} $
Преобразуем левую часть, используя формулу тангенса суммы $ \text{tg}(A+B) = \frac{\text{tg}A + \text{tg}B}{1 - \text{tg}A\text{tg}B} $ и значение $ \text{tg}\frac{\pi}{4} = 1 $:
$ \text{tg}\left(\frac{\pi}{4}+\alpha\right) = \frac{\text{tg}\frac{\pi}{4} + \text{tg}\alpha}{1 - \text{tg}\frac{\pi}{4}\text{tg}\alpha} = \frac{1 + \text{tg}\alpha}{1 - \text{tg}\alpha} $
Заменим тангенс через синус и косинус $ \text{tg}\alpha = \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha} $:
$ \frac{1 + \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}}{1 - \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}} = \frac{\frac{\cos\alpha+\sin\alpha}{\cos\alpha}}{\frac{\cos\alpha-\sin\alpha}{\cos\alpha}} = \frac{\cos\alpha+\sin\alpha}{\cos\alpha-\sin\alpha} $
Домножим числитель и знаменатель на $ (\cos\alpha+\sin\alpha) $:
$ \frac{(\cos\alpha+\sin\alpha)(\cos\alpha+\sin\alpha)}{(\cos\alpha-\sin\alpha)(\cos\alpha+\sin\alpha)} = \frac{(\cos\alpha+\sin\alpha)^2}{\cos^2\alpha-\sin^2\alpha} $
Используем формулы $ (\cos\alpha+\sin\alpha)^2 = \cos^2\alpha+2\sin\alpha\cos\alpha+\sin^2\alpha = 1+\sin 2\alpha $ и $ \cos^2\alpha-\sin^2\alpha = \cos 2\alpha $:
$ \frac{1+\sin 2\alpha}{\cos 2\alpha} $
Левая часть равна правой, тождество доказано.
Ответ: Тождество доказано.

4) Докажем тождество: $ \frac{1-\sin 2\alpha}{1+\sin 2\alpha} = \text{ctg}^2\left(\frac{\pi}{4}+\alpha\right) $
Преобразуем левую часть равенства. Используем основное тригонометрическое тождество $ 1 = \sin^2\alpha + \cos^2\alpha $ и формулу синуса двойного угла $ \sin 2\alpha = 2\sin\alpha\cos\alpha $:
$ \frac{1-\sin 2\alpha}{1+\sin 2\alpha} = \frac{\cos^2\alpha - 2\sin\alpha\cos\alpha + \sin^2\alpha}{\cos^2\alpha + 2\sin\alpha\cos\alpha + \sin^2\alpha} = \frac{(\cos\alpha - \sin\alpha)^2}{(\cos\alpha + \sin\alpha)^2} = \left(\frac{\cos\alpha - \sin\alpha}{\cos\alpha + \sin\alpha}\right)^2 $
Разделим числитель и знаменатель дроби внутри скобок на $ \cos\alpha $ (при $ \cos\alpha \ne 0 $):
$ \left(\frac{\frac{\cos\alpha}{\cos\alpha} - \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}}{\frac{\cos\alpha}{\cos\alpha} + \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}}\right)^2 = \left(\frac{1 - \text{tg}\alpha}{1 + \text{tg}\alpha}\right)^2 $
Теперь преобразуем правую часть. Используем формулу тангенса суммы $ \text{tg}(A+B) = \frac{\text{tg}A + \text{tg}B}{1 - \text{tg}A\text{tg}B} $, а также $ \text{ctg}x = \frac{1}{\text{tg}x} $ и $ \text{tg}\frac{\pi}{4} = 1 $:
$ \text{ctg}^2\left(\frac{\pi}{4}+\alpha\right) = \left(\frac{1}{\text{tg}\left(\frac{\pi}{4}+\alpha\right)}\right)^2 = \left(\frac{1}{\frac{\text{tg}\frac{\pi}{4}+\text{tg}\alpha}{1-\text{tg}\frac{\pi}{4}\text{tg}\alpha}}\right)^2 = \left(\frac{1-\text{tg}\alpha}{1+\text{tg}\alpha}\right)^2 $
Левая и правая части равны, тождество доказано.
Ответ: Тождество доказано.